Полиноми

[Гост]

P(x)=[tex]x^{4 }[/tex]-[tex]x^{3 }[/tex]-6[tex]x^{2 }[/tex]-10x-12
Представете P(x) като произведение на два полинома от втора степен с цели коефициенти.

[ammornil]

P(x)=[tex]x^{4 }[/tex]-[tex]x^{3 }[/tex]-6[tex]x^{2 }[/tex]-10x-12
Представете P(x) като произведение на два полинома от втора степен с цели коефициенти.

[tex]P(x)=x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=(ax^{2}+bx+c)(kx^{2}+mx+n)[/tex]
Провизведението на свободните членове трябва да бъде [tex]-12[/tex].
След няколко опита с различни комбинации открих, че вярната (която дава целочислени решения) е [tex]c=2, n=-6[/tex].
[tex]P(x)=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(na+mb+kc)x^{2}+(nb+mc)x+nc=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(na+mb+2k)x^{2}+(-6b+2m)x-12\\ x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(6a+mb+2k)x^{2}+(-6b+2m)x-12 \\ \Rightarrow \quad \begin{array}{|l} k\cdot{a}=1 \\ m\cdot{a}+k\cdot{b}=-1 \\ -6\cdot{a}+m\cdot{b}+2\cdot{k}=-6 \\ -6\cdot{b}+2\cdot{m}=-10 \end{array}[/tex]
Четири уравнения, четири неизвестни, системата е определена и има точно едно решение: [tex]\begin{array}{|l} a=1 \\ b=1 \\ k=1 \\ m=-2 \end{array}[/tex]
$$ P(x)=x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=(x^{2}+x+2)(x^{2}-2x-6) $$

Проблемът ми с тази задача е, че може би може да се реши като се намерят два корена чрез Нютон-Рафсън и от тях да се състави първия квадратен тричлен, а после чрез деление на полиноми да се определи втория квадратен тричлен, но цифрите са толкова криви, че който я е измислил тази задача, не е помислил за удоволствието от решаването на задачите, а сякаш е искал да накара решаващия да страда. Оставя много неприятно усещане у мен. После се чудим защо хората се отказват да учат математика в университета и гледат "да избутат изпитите някак си". Надявам се да съм Ви бил полезен поне малко.

[Гост]

P(x)=[tex]x^{4 }[/tex]-[tex]x^{3 }[/tex]-6[tex]x^{2 }[/tex]-10x-12
Представете P(x) като произведение на два полинома от втора степен с цели коефициенти.

[tex]P(x)=x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=(ax^{2}+bx+c)(kx^{2}+mx+n)[/tex]
Провизведението на свободните членове трябва да бъде [tex]-12[/tex].
След няколко опита с различни комбинации открих, че вярната (която дава целочислени решения) е [tex]c=2, n=-6[/tex].
[tex]P(x)=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(na+mb+kc)x^{2}+(nb+mc)x+nc=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(na+mb+2k)x^{2}+(-6b+2m)x-12\\ x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=kax^{4}+(ma+kb)x^{3}+(6a+mb+2k)x^{2}+(-6b+2m)x-12 \\ \Rightarrow \quad \begin{array}{|l} k\cdot{a}=1 \\ m\cdot{a}+k\cdot{b}=-1 \\ -6\cdot{a}+m\cdot{b}+2\cdot{k}=-6 \\ -6\cdot{b}+2\cdot{m}=-10 \end{array}[/tex]
Четири уравнения, четири неизвестни, системата е определена и има точно едно решение: [tex]\begin{array}{|l} a=1 \\ b=1 \\ k=1 \\ m=-2 \end{array}[/tex]
$$ P(x)=x^{4}-x^{3}-6x^{2}-10x-12=(x^{2}+x+2)(x^{2}-2x-6) $$

Проблемът ми с тази задача е, че може би може да се реши като се намерят два корена чрез Нютон-Рафсън и от тях да се състави първия квадратен тричлен, а после чрез деление на полиноми да се определи втория квадратен тричлен, но цифрите са толкова криви, че който я е измислил тази задача, не е помислил за удоволствието от решаването на задачите, а сякаш е искал да накара решаващия да страда. Оставя много неприятно усещане у мен. После се чудим защо хората се отказват да учат математика в университета и гледат "да избутат изпитите някак си". Надявам се да съм Ви бил полезен поне малко.

Много Ви благодаря за помощта!

[ptj]

Малко сложно си я обяснил:

Ясно е, че единия полином е [tex]x^2+ax+b[/tex], другия е [tex]x^2+cx+d[/tex].

[tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+a.c)x^2+(b.c+a.d)x+b.d[/tex].

Решението на самата система не е по стандартния начин, защото търсим само целочислени решения.

Тогава като съобразим, че [tex]b.d=-12[/tex] имаме общо общо 6 възможности ( с оглед на симетрите).

Т.е. [tex](b;d)=(\pm 1; \mp 12),( \pm 2; \mp 6),( \pm 3; \mp 4)[/tex].

Съответно за всяка една от тях трябва да проверим дали има решение за оставащите [tex]a,c[/tex].

Не е толкова сложно и не трябва да обвиняваш автора...