Диагоналът AC на ромба ABCD е 10 см, а радиусът на описаната

[Гост]

диагоналът AC на ромба ABCD е 10 см, а радиусът на описаната около триъгълника ABD окръжност е 3см. Намерете лицето на ромба

[ammornil]

диагоналът AC на ромба ABCD е 10 см, а радиусът на описаната около триъгълника ABD окръжност е 3см. Намерете лицето на ромба

Един начин е да намерим синуса на ъгъла при върха А, и оттам лицето е [tex]S=AB^{2}\cdot{}\sin{\angle{BAD}}[/tex]
[tex]R=3, AB=AD=10 \\ \begin{array}{|l} \sin{\angle{BAD}} = \frac{BD}{2\cdot{R}} \\ \cos{\angle{BAD}}=\frac{2\cdot{}AB^{2}-BD^{2}}{2\cdot{AB^{2}}} \\ \sin^{2}{\angle{BAD}}+\cos^{2}{\angle{BAD}}=1 \end{array}[/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря, но всъщност AC е равно на 10, не AD, а мисля, че в решението сте написали, че AD=10

[ammornil]

Много Ви благодаря, но всъщност AC е равно на 10, не AD, а мисля, че в решението сте написали, че AD=10

Да, благодаря Ви за корекцията.
[tex]\sin{\angle{BAD}}=\sin{(180^{\circ}-\angle{ABC})}=\sin{\angle{ABC}} \\ \cos{\angle{BAD}}=\cos{(180^{\circ}-\angle{ABC})}=-\cos{\angle{ABC}}\\ S=AB^{2}\cdot{}\sin{\angle{ABC}}[/tex]
[tex]R=3, AC=10 \\ \begin{array}{|l} AD=2\cdot{R}\cdot{}\sin{\angle{ABC}}\\ -\cos{\angle{ABC}}=\frac{2\cdot{}AB^{2}-AD^{2}}{2\cdot{}AB^{2}} \\ AB^{2}=\frac{AC^{2}}{1-2\cdot{\cos{\angle{ABC}}}} \\ \sin^{2}{\angle{ABC}}+\cos^{2}{\angle{ABC}}=1 \end{array}[/tex]

Не е приятно решение, предполагам че има по-лесно но не го виждам в момента.

[Гост]

Много благодаря!

[S.B.]

диагоналът AC на ромба ABCD е 10 см, а радиусът на описаната около триъгълника ABD окръжност е 3см. Намерете лицето на ромба

Без заглавие - 2024-05-01T183406.834.png (256.88 KiB) Прегледано 460 пъти

[tex]AC \cap BD = O , AC \bot BD[/tex]
Нека центърът на описаната около [tex]\triangle ABD[/tex] окръжност е $M$
т.$M$ е пресечна точка на симетралите на [tex]\triangle ABD \Rightarrow M \in AO[/tex] ( Защо $AO$ е симетрала?)
[tex]AO = \frac{1}{2}AC = 5 , AM= R = 3 \Rightarrow MO = 2[/tex]
$DM = CM = R = 3$
За [tex]\triangle OMD[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OD^{2 } = CM^{2 }- OM^{2 } \Leftrightarrow OD = \sqrt{9 - 4} \Rightarrow OD = \sqrt{5}[/tex]
[tex]BD = 2.OD \Rightarrow BD = 2 \sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{2} AC.BD.\sin 90 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD }= \frac{1}{2}.10.2 \sqrt{5}.1[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } =10 \sqrt{5} $$