правилна пресечена пирамида

[ivelinanet]

Здравейте!Утре имам контролно и от примерните задачи, които ни е дала да се упражняваме немога да се справя с една, ако може някой моля да ми помогне спешно!
Дадено ни е правилна четириъгълна пресечена пирамида с околен ръб l=√34, околна повърхнина S=140 и пълна повърхнина S1=256.Търси се обема на пирамидата, V=?.

[L.e.o]

а - страна на доланата основа
b - страна на горната основа
h - височина на трапеца (околна повърхност)
H1 - височина на пирамидата (непресечена)
H2 - височина на пресечената пирамида

Oт равнобедрения трапец:
l^2 = h^2 + (a-b)^2/4
От околната повърхнина:
4. (а+b)h/2 = 140
Лицата на основите:
256-150 = а^2+b^2

3 у-я с 3 неизвестни => h=5, a=10, b=4

h^2 = H2^2 + (a-b)^2/4 => H2=4

tgα = H2/(a-b)/2 = H1/a/2 =
4/3 = H1/5 => H1=20/3
V = 1/3 ( H1.a^2 - (H1-H2).b^2) => 1872/9
PS: дано не съм оплескал аритметиката

[ivelinanet]

много се извинявам, но би ли ми дал изчисленията малко по-подоробно или да ме насочиш кое да започна да разглеждам, че не разбирам много обяснението ти.

[kerry]

дано не съм оплескал аритметиката

Не си я оплескал, но защо не раздели 1872 на 9 ?

[L.e.o]

Тук, кофти сметките са само при 3те у-я.
l^2 = h^2 + (a-b)^2/4
4.(а+b)h/2 = 140
256-150 = а^2+b^2
=>
1)а^2 + b^2 = 116
2)(a+b)h = 70
3)34=h^2 + (a^2+b^2-2ab)/4 (заместваме от 1вото а^2 + b^2)
=>
34 = h^2 + (116-2ab)/4 => 2ab= 4(h^2 -5)
(a+b)^2 = a^2+b^2 + 2ab = 116 + 4(h^2 -5) = 4 (24+h^2) => (a+b) = 2√(24+h^2) (заместваме във второто) =>
h√(24+h^2) = 35
h e реално и положително, а h√(24+h^2) е строго растяща => h√(24+h^2) = 35 има само едно реално решение, а то се вижда, че е при h=5. От тук си намираш а и b.

[Martin Nikovski]

Нека да означим с [tex]a[/tex] страната на [tex]ABCD[/tex], а с [tex]a_1[/tex] - страната на [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex].
Можем да използваме формулата за околна повърхнина на правилна пресечена пирамида: [tex]S=\left(p+p_1\right).k[/tex], където [tex]p[/tex] е полупериметърът на [tex]ABCD[/tex], [tex]p_1[/tex] - полупериметърът на [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex], а [tex]k[/tex] - апотемата на пирамидата
(т.е. височината към основен ръб в някоя от околните стени).
[tex]S=140cm^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left(p+p_1\right).k=140[/tex]
[tex]p=\frac{P}{2 }=\frac{4a}{2 } =2a[/tex], [tex]p_1=\frac{P_1}{2 } =\frac{4a_1}{2 }=2a_1[/tex]
[tex]\left(2a+2a_1\right).k=140[/tex] [tex]/:2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\fbox{\left(a+a_1\right).k=70}[/tex]
Пълната повърхнина е [tex]S_1=S+B+B_1=\left(2a+2a_1\right).k+a^2+a_1^2[/tex] (защото основите са квадрати).
[tex]S_1=256cm^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\fbox{2\left(a+a_1\right).k+a^2+a_1^2=256}[/tex]
Построяваме [tex]B_1H[/tex] - апотема ([tex]B_1H=k[/tex])[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]B_1H\bot AB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BHB_1=90^\circ[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BHB_1[/tex] ([tex]\angle BHB_1=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:\ BB_1^2=B_1H^2+HB^2[/tex]
[tex]BB_1=l[/tex] - околен ръб
[tex]AA_1=BB_1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]ABB_1A_1[/tex] е равнобедрен трапец. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]HB=\frac{AB-A_1B_1}{2 }=\frac{a-a_1}{2}[/tex]
[tex]B_1H=k[/tex] - по построение.
Тогава [tex]l^2=k^2+\left(\frac{a-a_1}{2 } \right)^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left(\sqrt{34}\right)^2=k^2+\frac{a^2-2a.a_1+a_1^2}{4 }[/tex] [tex]/.4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\fbox{a^2-2a.a_1+a_1^2+4k^2=136}[/tex]
От трите оградени уравнения съставяш система - 3 уравнения, 3 неизвестни. Като отговори получаваш:
[tex]a=10cm,\ a_1=4cm,\ k=5cm[/tex]
Следователно [tex]B=a^2=10^2=100cm^2,\ B_1=a_1^2=4^2=16cm^2[/tex]
Нека [tex]OO_1=h[/tex] е височината на пирамидата ([tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex] са пресечните точки на диагоналите на двете основи).
Построяваме [tex]A_1M||OO_1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]MOO_1A_1[/tex] е правоъгълник. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]MO=AO_1=a_1.\frac{sqrt2}{2 }[/tex] и [tex]A_1M=OO_1=h[/tex].
[tex]AM=AO-MO=a.\frac{\sqrt{2}}{2 } -a_1.\frac{\sqrt2}{2 }=\left(a-a_1\right).\frac{\sqrt2}{2 } =\left(10-4\right).\frac{\sqrt2}{2 }=6.\frac{\sqrt2}{2 } =3\sqrt2cm[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AMA_1[/tex] ([tex]\angle AMA_1=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:\ AA_1^2=AM^2+A_1M^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left(\sqrt{34}\right)^2=\left(3\sqrt2\right)^2+h^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]h^2=34-18=16[/tex]
[tex]h>0\ \Rightarrow\ h=\sqrt{16}=4cm[/tex].
Намираме обема на пирамидата по формулата [tex]V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=\frac{h}{3 }\left(B+B_1+\sqrt{BB_1}\right)=\frac{4}{3 }.\left(100+16+\sqrt{100.16}\right)=\frac{4}{3 } .156=208cm^3[/tex]
П.П. Това е друг вариант на решение... въпрос на личен избор кой ще предпочетеш... Ако искаш, ще ти направя чертеж...

[ivelinanet]

а би ли ме светнал каква е тази система защото не си спомням как се съставяха а+а1 ли замества6 ?

[Martin Nikovski]

Системата е: [tex]\begin{tabular}{|l}\left(a+a_1\right).k=70\\2\left(a+a_1\right).k+a^2+a_1^2=256\\ a^2-2a.a_1+a_1^2+4k^2=136 \end{tabular}[/tex]
Оттук намираш [tex]a,\ a_1[/tex] и [tex]k[/tex].

[ivelinanet]

да, но формулата за околна повърхнина е S=P+P1/2.k a ne S=p+p1.k

[ivelinanet]

съжалявам за пост-а получих същото с мойта формула.

[ivelinanet]

може ли да ми пратиш твоя чертеж, че нещо по моя немога да се ориентирам с написаното.Мерси

[ivelinanet]

оххх моля ви помогнете ми със системата нещо не ми излизат вашите отговори ;( ще ми покажете ли как сте я решавали ?

[Martin Nikovski]

ОК... за първото нещо, което питаш, в "твоята" формула използваш периметрите ([tex]P[/tex] и [tex]P_1[/tex]), а аз използвам полупериметрите ([tex]p[/tex] и [tex]p_1[/tex]), оттам идва двойката в знаменателя...

Чертеж... в жълто са триъгълниците, за които прилагам Питагорова теорема...

Чертеж.

Drawing.jpg (18.11 KiB) Прегледано 2340 пъти

[ivelinanet]

Добре много се извинявам ама на системата стигам до к√к^2+24=35 , как получихте от това нещо, че к=5 ????

[Martin Nikovski]

Виждам, че задачата ти е трябвала за днес...
Ако все още се интересуваш, ще ти напиша решението на системата...

[Малина]

някой да помага моля .. задачите ми са за четвъртък моляяя

IMAG0529.jpg (535.19 KiB) Прегледано 1594 пъти