Трудни задачи

[Гост]

Untitled.png (80.44 KiB) Прегледано 449 пъти

Може ли малко помощ?

[ammornil]

[tex]\boxed{\quad{}16\quad{}}\\ \quad \\ AB=c,\quad{} \angle{ACB}=\gamma,\quad{} P_{ABC}=P_{max} \\ P_{ABC}=P_{max} \Rightarrow (a+b)_{max} \\ AC=b=?,\quad{} BC=a=? \ \\ \angle{BAC}=\alpha, \quad \angle{ABC}=\beta \\ \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}} \Rightarrow \begin{cases} a=c\cdot{}\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\gamma}} \\ b=c\cdot{}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}} \end{cases} \\ a+b=c\cdot{}\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\gamma}}+c\cdot{}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\cdot{}(\sin{\alpha}+\sin{\beta}) \\ (a+b)_{max} \rightarrow (\sin{\alpha}+\sin{\beta})_{max}=? \\ \sin{\beta}=\sin{(180^{\circ}-(\alpha+\gamma))}=\sin{(\alpha+\gamma)} \\ \sin{\alpha}+\sin{\beta}=\sin{\alpha}+\sin{(\alpha+\gamma)}=2\cdot{}\sin{\frac{\alpha+\alpha+\gamma}{2}}\cdot{}\cos{\frac{\alpha-\alpha-\gamma}{2}}=2\cdot{}\sin{\left(\alpha+\frac{\gamma}{2} \right)}\cdot{}\cos{\frac{\gamma}{2}} \\ (2\cdot{}\sin{\left(\alpha+\frac{\gamma}{2} \right)}\cdot{}\cos{\frac{\gamma}{2}})_{max} \rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}}=const. \Rightarrow \sin{\left(\alpha+\frac{\gamma}{2} \right)}_{max} \Rightarrow \alpha+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ} \\ \quad \boxed{(1)\quad \alpha=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2} \quad } \\ \beta =180^{\circ}-\alpha-\gamma=180^{\circ}- 90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}-\gamma \Rightarrow \boxed{(2)\quad \beta=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2} \quad } \\ (1) \cap (2) \Rightarrow \alpha=\beta \Rightarrow a=b=c\cdot{}\frac{\sin{\left( 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)}}{\sin{\gamma}}=c\cdot{}\frac{\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\gamma}}[/tex]

[ammornil]

[tex]\boxed{17} \quad \begin{cases} a>4 \\ b>2k \end{cases} \rightarrow (a-4)(b-2k)=384,\quad a\cdot{b}=min, \quad(a,b)=? \\ b=\frac{384}{a-4}+2k \Rightarrow S(a)=a\cdot{b}=a\cdot{}\left(\frac{384}{a-4}+2k \right)=\frac{384a}{a-4}+2ka \\ S'(a)=\frac{384(a-4)-384a}{(a-4)^{2}}+2k=2k-\frac{1536}{(a-4)^{2}}, \quad \exists{S_{min}} \Rightarrow 2k-\frac{1536}{(a-4)^{2}}=0 \\ 2k(a-4)^{2}-1536=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2ka^{2}-16ka+32k-1536=0 \\ \quad а-4>0 \Rightarrow (a-4)^{2}=\frac{1536}{2k} \Leftrightarrow (a-4)^{2}=\frac{768}{k} \Leftrightarrow (a-4)^{2}=\frac{16^{2}\cdot{3}}{k} \Rightarrow a-4=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}} \Leftrightarrow a=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}+4 \\ a-4=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}} \\ b=\frac{384}{a-4}+2k=\frac{384}{16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}}+2k=24\sqrt{\frac{k}{3}}+2k[/tex]$$ \boxed{\quad a=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}+4, \quad b=24\sqrt{\frac{k}{3}}+2k \quad}$$
Оставям на Вас да разгледате случаи за [tex]k[/tex].


Проверете сметките за изчислителни грешки или грешки при пренасянията, защото работих директно в LATEX.

[Гост]

[tex]\boxed{17} \quad \begin{cases} a>4 \\ b>2k \end{cases} \rightarrow (a-4)(b-2k)=384,\quad a\cdot{b}=min, \quad(a,b)=? \\ b=\frac{384}{a-4}+2k \Rightarrow S(a)=a\cdot{b}=a\cdot{}\left(\frac{384}{a-4}+2k \right)=\frac{384a}{a-4}+2ka \\ S'(a)=\frac{384(a-4)-384a}{(a-4)^{2}}+2k=2k-\frac{1536}{(a-4)^{2}}, \quad \exists{S_{min}} \Rightarrow 2k-\frac{1536}{(a-4)^{2}}=0 \\ 2k(a-4)^{2}-1536=0 \quad\Leftrightarrow\quad 2ka^{2}-16ka+32k-1536=0 \\ \quad а-4>0 \Rightarrow (a-4)^{2}=\frac{1536}{2k} \Leftrightarrow (a-4)^{2}=\frac{768}{k} \Leftrightarrow (a-4)^{2}=\frac{16^{2}\cdot{3}}{k} \Rightarrow a-4=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}} \Leftrightarrow a=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}+4 \\ a-4=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}} \\ b=\frac{384}{a-4}+2k=\frac{384}{16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}}+2k=24\sqrt{\frac{k}{3}}+2k[/tex]$$ \boxed{\quad a=16\cdot{}\sqrt{\frac{3}{k}}+4, \quad b=24\sqrt{\frac{k}{3}}+2k \quad}$$
Оставям на Вас да разгледате случаи за [tex]k[/tex].


Проверете сметките за изчислителни грешки или грешки при пренасянията, защото работих директно в LATEX.

Благодаря Ви много!