Ах, тази геометрия

[Laptopka]

Здравейте, ето, че пак се появявам тук. Започнах геометричните задачи, а те винаги са били мъката ми.

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex] с [tex]\angle BAC = 120^\circ[/tex] и радиуси на вписаната и описаната окръжност съответно [tex]r = \sqrt{3}[/tex] и [tex]R = \frac{ 14\sqrt{3} }{ 3 }[/tex] . Да се пресметнат дължините на страните на триъгълника.

Успявам да намеря само страната срещу ъгъл A (със синусовата теорема) - 14. След това с косинусовата теорема намирам b +c = 16, и от тук натам блокирам. Може би трябва да използвам някъде радиуса на вписаната окръжност, но единствената формула, за която се сещам, е S = p.r, а тя май не върши работа тук. Имам още няколко подобни задачи, но мисля, че ако разбера начина, ще успея да се справя и с тях.

Някакви напътствия, решения..?

[L.e.o]

b+c = 16
<b + <c = 60°
b/sin<b = c/sin<c

[Martin Nikovski]

Правилно - [tex]a=14cm[/tex].
Отново правилно - [tex]b+c=16[/tex].
Знаеш, че лицето е [tex]S=pr[/tex] и също [tex]S=\frac{abc}{4R }[/tex]. Приравняваш десните страни и получаваш:
[tex]pr=\frac{abc}{4R }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a+b+c}{2 }.r=\frac{abc}{4R }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{14+b+c}{2 }.\sqrt3=\frac{14bc}{4.14\frac{\sqrt3}{3} }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]bc=28+2b+2c[/tex]
Оттук мисля, че е елементарно!

[ganka simeonova]

Добре де, тази задача толкова много е дискутирана!
Що не ползвате хубавите свойства на доп. отсечки?
Разкарайте тези системи от 2 степен!

[Martin Nikovski]

Това е нещото, за което никога не се сещам!

[ganka simeonova]

Това е нещото, за което никога не се сещам!

А, трябва!

[kerry]

... След това с косинусовата теорема намирам b +c = 16...

Как по-точно го намери?

[BTK Strangler]

Верно... от косинусовата в началото имаме [tex]14^2=b^2+c^2+bc[/tex] Ако от тук сте намерили, че b+c=16, то направо цялата задача излиза още тука

[Laptopka]

Хмм, мисля, че когато писах темата, карах по спомени.. Сега си преглеждам измисленото решение и гледам, че за [tex]b + c = 16[/tex] не съм ползвала косинусовата Т, а някаква формула, която видях в един справочник, и която гласи

[tex]p - a = cotg\frac{ \alpha}{2} . r[/tex]

Но в последствие се оказа, че тази формула не можело да се ползва наготово, а трябвало да се докаже откъде идва, и общо взето до тук бях с ползването й.

Такаа, сега да премина към новото нещо : ). Може ли да ми дадете някакви напътствия за тези две задачи по-долу? Не самите решения, просто нещо като "упътване".. Нищо не ми идва наум.

1. В успоредника [tex]ABCD[/tex] дължините на страните [tex]AB, AD[/tex] и диагонала [tex]BD[/tex] са съответно 4, 2 и 3. Да се пресметне разстоянието между центровете на окръжностите, вписани в триъгълниците [tex]ABD[/tex] и [tex]BCD[/tex].
2. Да се намери лицето на трапец, ако дължините на диагоналите му са 13 и 15, а разстоянието между средите на основите му е 7. (тук би трябвало да се получи 84, но как, и аз не знам..)

[baroveca]

За втора задача.
Продължаваме основата АВ.През точка С построяваме успоредна и равна остечка на диагонала ВD.В триъгълник АРС, построяваме отсечката СМ- равна и успоредна на отсечката, съединяваща средите на основите. В триъгълник АРС СМ е медиана- така четох, но не се сещам как се доказва. Приложи формулата за медиана и намери отсечката АР. Оттам имаш триъгъбник с 3 дадени страни.Намери лицето по Хероновата формула. С тези означения аз не получавам лицето да е 84. Прегледай условието пак.

[Добромир Глухаров]

[tex]m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}[/tex]
[tex]4.7^2=2.13^2+2.15^2-AP^2[/tex]
[tex]AP=4\sqrt{37} \ p=\frac{13+15+4\sqrt{37}}{2}=14+2\sqrt{37}[/tex]
[tex]p-a=1+2\sqrt{37}[/tex]
[tex]p-b=2\sqrt{37}-1[/tex]
[tex]p-c=14-2\sqrt{37}[/tex]
[tex]S=\sqrt{p(p-c)(p-a)(p-b)}=\sqrt{(14+2\sqrt{37})(14-2\sqrt{37})(2\sqrt{37}+1)(2\sqrt{37}-1)}[/tex]
[tex]S=\sqrt{(196-4.37)(4.37-1)}=\sqrt{48.147}=\sqrt{16.3.3.49}=4.3.7=84[/tex]

[baroveca]

[tex]m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}[/tex]
[tex]4.7^2=2.13^2+2.15^2-AP^2[/tex]
[tex]AP=4\sqrt{37} \ p=\frac{13+15+4\sqrt{37}}{2}=14+2\sqrt{37}[/tex]
[tex]p-a=1+2\sqrt{37}[/tex]
[tex]p-b=2\sqrt{37}-1[/tex]
[tex]p-c=14-2\sqrt{37}[/tex]
[tex]S=\sqrt{p(p-c)(p-a)(p-b)}=\sqrt{(14+2\sqrt{37})(14-2\sqrt{37})(2\sqrt{37}+1)(2\sqrt{37}-1)}[/tex]
[tex]S=\sqrt{(196-4.37)(4.37-1)}=\sqrt{48.147}=\sqrt{16.3.3.49}=4.3.7=84[/tex]

Аз като видях при моите пресмятания,че се получава нещо си + корен от 37 и помислих,че няма да е 87..но не се оказах прав

[Laptopka]

Добре, значи за втора задача ми трябват две допълнителни построения - едното е успоредна и равна на средната основа отсечка, а другото е успоредна отсечка на диагонала. Сега вече разбирам. Никога, ама никога не забелязвам какво трябва да ДОпостроя в тези задачи.. Може би това ми е проблемът с географията - не съм наблюдателна, или де да знам и аз.. : )
А какво ще кажете за първата задача - тази за успоредника? Решавала съм подобна, само че там двете окръжности бяха вписани в два малки триъгълника, съответно получени от медианата/височината/ъглополовящата на големия триъгълник. А тук се говори за успоредник. Станах разногледа, но не намирам нищичко, което да помогне за решението. : (

[ganka simeonova]

Следи чертежа.
Ясно е, че [tex]J_1O=J_2O; PO=QO=>PJ_1QJ_2-[/tex] успоредник=> [tex]J_1J_2[/tex] се разполовява от точка О.
От [tex]\Delta ADB=>DP=\frac{AD+DB-AB}{2 } =\frac{1}{2 }[/tex] -дължина на допирателна отсечка.
Тогава [tex]PO=DO-DP=1[/tex]
От същия триъгълник, например с Херон можеш да намериш лицето, а оттам и радиуса [tex]J_1P[/tex].
Накрая един Питагор за [tex]\Delta J_1PO[/tex] и всичко е ОК.

[Laptopka]

Дотук ясно, само не разбирам защо
[tex]DP = \frac{AD + DB - AB}{2}[/tex] ?
Това някаква формула за допирателна отсечка ли е или се доказва отнякъде?
Благодаря на всички, които се отзовават!

[ptj]

Дотук ясно, само не разбирам защо
[tex]DP = \frac{AD + DB - AB}{2}[/tex] ?
Това някаква формула за допирателна отсечка ли е или се доказва отнякъде?
Благодаря на всички, които се отзовават!

"Външните допирателни са равни".Разбий всяка страна на 2 допирателни и ще разбереш написаното.

[ganka simeonova]

Дотук ясно, само не разбирам защо
[tex]DP = \frac{AD + DB - AB}{2}[/tex] ?
Това някаква формула за допирателна отсечка ли е или се доказва отнякъде?
Благодаря на всички, които се отзовават!

Учи се в 8 клас.