Ротационното тяло при завъртане на трапец - обем

[Гост]

В трапец ABCD с основи AB=8 и CD=4, симетралата на AD минава през точка B и <BAD=60. Да се намерят повърхнината и обема на ротационното тяло, получено при завъртането на ABCD около симетралата на AD.

[batsev]

Значи [tex]\triangle[/tex]ABD - равностранен, [tex]\angle[/tex]A=[tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\angle[/tex]ABD=60[tex]^\circ[/tex].
[tex]\angle[/tex]D=120[tex]\Rightarrow \angle[/tex]CDB=60[tex]^\circ[/tex]. Тогава по косинусова теорема BC=[tex]\sqrt{ BD^{2 }+ CD^{2 } -2BD.CD.cos60}[/tex]
BC=4[tex]\sqrt{3} \Rightarrow \angle[/tex]DBC=30[tex]^\circ \Rightarrow \angle[/tex]C=90[tex]^\circ[/tex]
Тялото е сбор от 2 конуса, единия пресечен с голям диаметър CE=2CM (т.E - проекцията на С спрямо BO), малък диаметър AD и височина OM, а другия
конус е с диаметър CE и височина BM. [tex]\triangle[/tex]BCM е правоъгълен с BC=4[tex]\sqrt{3} и [tex]\angle[/tex]CBM = 60[tex]^\circ[/tex]. От него можем
да намерим CM и BM. BO = 4[tex]\sqrt{3}, OM = BO-BM. Имаме всичко за обемите на 2-та конуса.

[S.B.]

В трапец ABCD с основи AB=8 и CD=4, симетралата на AD минава през точка B и <BAD=60. Да се намерят повърхнината и обема на ротационното тяло, получено при завъртането на ABCD около симетралата на AD.

Без заглавие - 2024-12-19T124815.004.png (407.3 KiB) Прегледано 370 пъти

[tex]S_{AD }[/tex] е симетралата на $AD$
[tex]B \in S_{AD } \Rightarrow AB = DB = 8 , \angle DAB = 60 ^\circ \Rightarrow AB = BD = AD = 8[/tex]
[tex]S_{AD } \cap AD = O , OB \bot AD,OB = \frac{8 \sqrt{3} }{2} = 4 \sqrt{3}[/tex]
Построявам [tex]CP || AD , P \in AB ,APCD[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow AP = DC = 4 ,PC = AD = 8[/tex]
[tex]AB = 8 , AP = 4 \Rightarrow PB = 4[/tex]
[tex]CP || AD, \Rightarrow \angle CPB = \angle DAB = 60 ^\circ[/tex] ( като съответни при пресичане на две успоредни прави с трета)
За [tex]\triangle PBC[/tex] прилагам Косинусова теорема :
[tex]BC^{2 } = PB^{2 } + PC^{2 } - 2.PB.PC.\cos CPB \Leftrightarrow BC^{2 } = 64 +16 - 32 = 48 \Rightarrow BC = 4 \sqrt{3}[/tex]
За [tex]\triangle PBC[/tex] прилагам Синусова теорема :
[tex]\frac{CP}{\sin \angle PBC} = \frac{BC}{\sin \angle BPC } \Leftrightarrow \frac{8}{\sin \angle PBC} = \frac{4 \sqrt{3} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \Rightarrow \sin \angle PBC = 1 \Rightarrow \angle PBC = 90 ^\circ[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle PBC[/tex] имаме [tex]\angle PBC = 90 ^\circ , \angle CPB = 60 ^\circ \Rightarrow \angle PCB = 30 ^\circ[/tex]

При завъртане на така определения трапец около симетралата на $AD$ се получава ротационно тяло,което се състои от:
1) Kонус [tex]CB C_{1 }[/tex] с образувателна [tex]CB = 4 \sqrt{3}[/tex], радиус на основата [tex]R = O_{1 }C[/tex] и височина [tex]h_{1 } = O_{1 }B[/tex]
2)Пресечен конус [tex]ADC C_{1 }[/tex] с образувателна $DC$, радиус на малката основа [tex]r = OD = 4[/tex], радиус на голямата основа [tex]R = O_{1 }C[/tex] и височина [tex]h_{2 }= O O_{1 }[/tex]

Обема на ротационното тяло е равно на обема на конуса + обема на пресечения конус
[tex]V_{кон. } = \frac{ \pi Р^{2 }. h_{1 } }{3}[/tex]
От [tex]\triangle O_{1 }BC \rightarrow h_{1 } = 2 \sqrt{3}, R = 6[/tex]

[tex]V_{прес.конус } = \frac{1}{3} \pi h_{2 } ( R^{2 } + r^{2 } + R.r)[/tex]
[tex]h_{2 } = OB - h_{1 } = 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}[/tex]
Останалите елементи ги определихме по-горе.
$$S_{тялото } = S_{ок.конуса } + S_{ок.прес.конус } + S_{г. осн. прес.конус }$$
[tex]S_{ок.конус } \pi R.CD = \pi.6.4=24 \pi[/tex]
[tex]S_{ок.пр.конус } = \pi (r + R).CD = \pi .(6 + 4).4 = ...[/tex]
[tex]S_{г.осн.прес.конус }= \pi r^{2 } = 16 \pi[/tex]

Сега спокойно можеш да довършиш задачата.Успех!

[batsev]

Как правим толкова детайлен чертеж? Че аз се пробвам с paint, и е голяма мъка

[S.B.]

Как правим толкова детайлен чертеж? Че аз се пробвам с paint, и е голяма мъка

Благодаря!Аз работя с Geo Gebra.

[Гост]

Как правим толкова детайлен чертеж? Че аз се пробвам с paint, и е голяма мъка

Научи Geogebra, една чудесна програма, която се оказва, че не е по силите на доста от пишещите тук