Вписана окръжност

[Гост]

В правоъгълния триъгълник ABC ,[tex]\angle[/tex]C = [tex]90 ^\circ[/tex] е вписана окръжност с радиус 2см,която се допира до страните на триъгълника в точките M,N и P.Ако лицето на триъгълника MNP е 4,8 кв.см, да се определи лицето на триъгълника ABC.

[Евва]

Нека точките M ,N ,P лежат съответно в/у страните AB ,BC и AC .
Означаваме [tex]\angle[/tex]BAC с [tex]\alpha[/tex] и с т.О центъра на вписаната окр.
Нека AP=y и BN=x .
Четириъгълникът AMOP е с 2 прави ъгъла [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MOP=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
Четириъгълникът MBNO е с 2 прави ъгъла [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MON=90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]
Лесно се доказва ,че PONC е квадрат със страна r=2 см. ; PC=NC=2 см.(1)

[tex]S_{MNP }[/tex]=4,8
[tex]S_{PMO } +S_{MNO } +S_{ONP }[/tex]=4,8
[tex]\frac{ r^{2 }sin(180 ^\circ- \alpha) }{2}+ \frac{ r^{2 }sin(90 ^\circ+ \alpha )}{2}+ \frac{ r^{2 } }{2}[/tex]= 4,8 |.2[tex]\ne[/tex]0

4sin[tex]\alpha[/tex]+4cos[tex]\alpha[/tex]+4 =9,6
sin[tex]\alpha[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex] +1=2,4

[tex]\frac{a}{c}+ \frac{b}{c}[/tex]+1 =2,4 (според нашите означения добива вида)

[tex]\frac{x+2}{x+y}+ \frac{y+2}{x+y} +\frac{x+y}{x+y}= \frac{2,4}{1}[/tex]

Получаваме x+y=10 т.е. y= 10-x (2)

(Питагорова теорема) [tex](x+2)^{2 } + (y+2)^{2 } =(x+y)^{2 }[/tex]
Получаваме 2x+2y+4 =xy (3)
Зам. (2) в (3) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2 }[/tex]-10x+24 =0 ;k= -5 ;D=25-24 =1

[tex]x_{1,2 } = \frac{5 \pm1 }{1}[/tex] ; [tex]x_{1 }[/tex]=6 см. , или [tex]x_{2 }[/tex]=4 см.
(от (2) намираме) [tex]y_{1 }[/tex]=4 см. ,или [tex]y_{2 }[/tex]=6 см.

Скрит текст: покажи

И в двата случая получаваме един и същ отговор .

AC=y+2 =6 ;BC=x+2 =8
[tex]S_{ABC }= \frac{AC.BC}{2} = \frac{6.8}{2}[/tex]= 24 [tex]см.^{2 }[/tex]

[S.B.]

В правоъгълния триъгълник ABC ,[tex]\angle[/tex]C = [tex]90 ^\circ[/tex] е вписана окръжност с радиус 2см,която се допира до страните на триъгълника в точките M,N и P.Ако лицето на триъгълника MNP е 4,8 кв.см, да се определи лицето на триъгълника ABC.

Без заглавие - 2025-01-10T113912.135.png (234.97 KiB) Прегледано 307 пъти

Още един поглед върху задачата
Нека [tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta ,AB = c, AC = b,BC = a[/tex]
Около четириъгълниците $ANOM$ и $BNOP$ може да се опише окръжност (ЗАЩО?)
[tex]\Rightarrow \angle NOM = 180 ^\circ - \alpha , \angle BOP = 180 ^\circ - \beta[/tex]
[tex]S_{MNP } = S_{NOM } + S_{NOP } + S_{MOP } \Leftrightarrow S_{MNP } = \frac{ r^{2 } }{2} \sin(180 ^\circ - \alpha) + \frac{ r^{2 } }{2} \sin(180 ^\circ - \beta ) + \frac{ r^{2 } }{2}\sin ^\circ 90 \Leftrightarrow 4,8 = 2\sin \alpha + 2\sin \beta + 2[/tex]
[tex]\Rightarrow \sin \alpha + \sin \beta = 1,4 \Leftrightarrow \frac{b}{c} + \frac{a}{c} = 1,4[/tex]
$$ \Rightarrow a + b = 1,4c$$
[tex](a + b)^{2 } = 1,96 c^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } + 2ab + b^{2 } = 1,96 c^{2 } \Leftrightarrow c^{2 } + 4 S_{ABC } = 1,96 c^{2 }[/tex] (защото [tex]S_{ABC } = \frac{ab}{2}; c^{2 } = a^{2 } + b^{2 }[/tex])
$$\Rightarrow 4 S_{ABC } = 0,96 c^{2 } $$
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = (c+2).2 = 2c + 4[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = 2c + 4 $$
[tex]\begin{cases} S_{ABC } = 2c + 4\\ 4 S_{ABC } = 0,96 c^{2 } \end{cases} 0,96 c^{2 } = 8c + 16 \Leftrightarrow 0,06 c^{2 }-0,5c -1 = 0, D = 0,49 , c_{1,2 } = \frac{0,5 \pm 0,7}{0,12} , c_{1 } =10 , c_{2 }< 0[/tex]

[tex]c = 10 , S_{ABC } = 2c + 4 = 20 + 4[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = 24 cm^{2 } $$

[Гост]

Благодаря ви!И двете решения са интересни.