Радиусът на описаната около трапеца окръжност

[Гост]

Даден е трапец ABCD (AB || CD, AB > CD), около който може да се опише окръжност. Бедрото AD и основата CD имат дължина b . Ъгъл BAD = α, . Да се намери:
а) радиусът на описаната около трапеца окръжност;
б) за коя стойност на а лицето на трапеца е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност

[ammornil]

Даден е трапец ABCD (AB || CD, AB > CD), около който може да се опише окръжност. Бедрото AD и основата CD имат дължина b . Ъгъл BAD = α, . Да се намери:
а) радиусът на описаната около трапеца окръжност;
б) за коя стойност на а лицето на трапеца е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-01-15 083404.png (24.44 KiB) Прегледано 378 пъти

$\\[24pt] k(O, R) \rightarrow (A, B, C, D) \in{} k, AB\|CD \Rightarrow AD= BC= b, \angle{DAB}= \angle{ABD}= \alpha \\[6pt] \begin{cases} D_{1}\in{}AB, \quad DD_{1}\bot{}AB \\ C_{1}\in{}AB, \quad CC_{1}\bot{}AB \end{cases}\Rightarrow DD_{1}= CC_{1}= h_{\text{тр.}} \\[6pt] \begin{cases} DD_{1}\|CC_{1} \\ D_{1}C_{1}\|DC \end{cases} \Rightarrow D_{1}C_{1}= DC= b \\[6pt] \triangle{AD_{1}D} \quad \begin{cases} \angle{AD_{1}D}= 90^{\circ} \\ \angle{D_{1}AD}= \alpha \\ AD=b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AD_{1}= AD\cdot{}\cos{\angle{D_{1}AD}} \Rightarrow AD_{1}=b\cdot{}\cos{\alpha} \\ DD_{1}= AD\cdot{}\sin{\angle{D_{1}AD}} \Rightarrow DD_{1}=b\cdot{}\sin{\alpha} \end{cases} \\[6pt] \triangle{AD_{1}D}\cong \triangle{BC_{1}C} \quad \begin{cases} \text{правоъгълни} \\ DD_{1}= CC_{1} \\ AD= BC \end{cases} \Rightarrow AD_{1}= BC_{1}= b\cdot{}\cos{\alpha} \\[6pt] AB= AD_{1}+D_{1}C_{1}+C_{1}B \quad \Leftrightarrow \quad AB= b\cdot{}\cos{\alpha}+ b+ b\cdot{}\cos{\alpha} \quad \Leftrightarrow \quad AB= b(1+2\cos{\alpha}) \\[6pt] \triangle{ADC} \begin{cases} AD= DC= b \\ \angle{ADC}= 180^{\circ}-\alpha \end{cases}, \quad \text{Кос. т-ма}: \quad AC^{2}= AD^{2}+ DC^{2}- 2\cdot{}AD\cdot{}DC\cdot{}\cos{\angle{ADC}} \\[6pt] \quad \cos{(180^{\circ}-\alpha)}= -\cos{\alpha} \Rightarrow AC^{2}= 2b^{2}(1+\cos{\alpha}) \quad \Rightarrow AC= b\sqrt{2(1+\cos{\alpha})} \\[6pt] \triangle{ABC} \quad \text{Син. т-ма} \quad \dfrac{AC}{\sin{\alpha}}= 2\cdot{}R \Rightarrow R=\dfrac{AC}{2\cdot{}\sin{\alpha}} \Rightarrow $ $$ R= \dfrac{b\sqrt{2(1+\cos{\alpha})}}{2\sin{\alpha}} $$ $\\[24pt] S_{ABCD}= \dfrac{AB+ DC}{2}\cdot{}DD_{1} \quad \Leftrightarrow \quad S_{ABCD}=\dfrac{b(1+2\cos{\alpha})+ b}{2}\cdot{}b\cdot{}\sin{\alpha}= \dfrac{b(1+ 2\cos{\alpha}+ 1)}{2}\cdot{}b\cdot{}\sin{\alpha}= b^{2}\sin{\alpha}(1+ \cos{\alpha}) \\[12pt] f(\alpha)= b^{2}\sin{\alpha}(1+ \cos{\alpha}), \quad b= const, \quad \begin{cases} AB>CD \\ AD=BC \end{cases} \Rightarrow 0< \alpha < 90^{\circ} \\[6pt] f'(\alpha)= b^{2}\begin{bmatrix} \cos{\alpha}(1+ \cos{\alpha})+ \sin{\alpha}(-\sin{\alpha}) \end{bmatrix}= b^{2}(\cos{\alpha}+ \cos^{2}{\alpha}- \sin^{2}{\alpha})= b^{2}\begin{bmatrix} \cos{\alpha}+ \cos^{2}{\alpha}- (1- \cos^{2}{\alpha})\end{bmatrix} \\[6pt] f'(\alpha)=b^{2}(2\cos^{2}{\alpha}+\cos{\alpha}-1) \\[6pt] \exists{} extr. \Rightarrow f'(\alpha)= 0 \Rightarrow \quad 2\cos^{2}{\alpha}+\cos{\alpha}-1=0 \Rightarrow \cos_{1,2}{\alpha}=\dfrac{-1\pm{}\sqrt{1^{2}-4\cdot{}2\cdot{}(-1)}}{2\cdot{}2}=\dfrac{-1\pm{}3}{4} \\[6pt] 0^{\circ}< \alpha <90^{\circ} \Rightarrow \cos{\alpha}>0 \Rightarrow \cos{\alpha}=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha= 60^{\circ} \\[6pt] f''(\alpha)= b^{2}(-2\sin{\alpha}-\sin{\alpha}) \Rightarrow f''(60^{\circ})= b^{2}\begin{pmatrix}-2\cdot{}\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}<0 \Rightarrow f(60^{\circ})=f_{max}=b^{2}\cdot{}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\begin{pmatrix}1+ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}b^{2}$ $$ S_{max_{ABCD}}= \dfrac{3\sqrt{3}}{4}b^{2}, \alpha=60^{\circ} $$

[Гост]

Благодаря Ви!

[S.B.]

Даден е трапец ABCD (AB || CD, AB > CD), около който може да се опише окръжност. Бедрото AD и основата CD имат дължина b . Ъгъл BAD = α, . Да се намери:
а) радиусът на описаната около трапеца окръжност;
б) за коя стойност на а лицето на трапеца е най-голямо и да се пресметне тази най-голяма стойност

Без заглавие - 2025-01-15T205444.646.png (247.83 KiB) Прегледано 355 пъти

Още един поглед върху задачата:
Около трапеца $ABCD$ може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow ABCD[/tex] е равнобедрен и $AD = BC$
[tex]\triangle ACD[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow \angle ACD = \angle CAD[/tex]
[tex]\angle BAC = \angle ACD[/tex] (кръстни)
[tex]\Rightarrow BAC = \angle CAD = \frac{ \alpha }{2}[/tex]

За [tex]\triangle ACD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AD}{\sin \frac{ \alpha }{2} } = 2R \Leftrightarrow \frac{b}{\sin \frac{ \alpha }{2} } = 2R[/tex]
$$\Rightarrow R = \frac{b}{2\sin \frac{ \alpha }{2} }$$

Подлагам на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ при което [tex]D \rightarrow C ,B \rightarrow B_{1 }[/tex]
[tex]S_{ABCD } = S_{A B_{1 }C }[/tex]
[tex]S_{A B_{1 }C } = \frac{AC. B_{1 }C }{2} .\sin \angle AC B_{1 }= \frac{ AC^{2 } }{2}\sin(180 ^\circ - \alpha)[/tex] ([tex]CB_{1 }= AC[/tex])

От [tex]\triangle ABC :[/tex]
[tex]\frac{AC}{\sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow \frac{AC}{\sin \alpha }= \frac{b}{\sin \frac{ \alpha }{2} } \Rightarrow AC = \frac{b.\sin \alpha }{\sin \frac{ \alpha }{2} } = \frac{b.2\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2} }{\sin \frac{ \alpha }{2} }[/tex]
$$\Rightarrow AC = BD = 2b.\cos \frac{ \alpha }{2} $$

[tex]S_{A B_{1 }C } = \frac{1}{2} (2b.\cos \frac{ \alpha }{2}) ^{2 }.\sin(180 ^\circ - \alpha) \Leftrightarrow S_{A B_{1 } C} = \frac{1}{2}.4 b^{2 } \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} .\sin \alpha = 2 b^{2 }. \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} .2\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$S_{A B_{1 }C } = S_{ABCD } \Rightarrow S_{ABCD } = 4 b^{2 }. \cos^{3 } \frac{ \alpha }{2}.\sin \frac{ \alpha }{2}$$

Получихме,че лицето на $ABCD$ е функция на [tex]\angle \alpha , \alpha \in (0;90 ^\circ )[/tex]
[tex]S( \alpha ) = 4 b^{2 } \cos^{3 } \frac{ \alpha }{2}.\sin \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]S'( \alpha ) = 2 b^{2 }( \cos^{4 } \frac{ \alpha }{2} - 3 \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2}. \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2})[/tex]
[tex]S'( \alpha ) = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}( \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 3 sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} ) = 0[/tex]
[tex]\alpha \in (0 ; 90 ^\circ ) \Rightarrow \cos \frac{ \alpha }{2} \ne 0[/tex]
[tex]\cos^{2 \frac{ \alpha }{2} }- 3 \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 3(1 - \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2}) = 0 \Leftrightarrow 4 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} - \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex](\cos \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2})(\cos \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}) = 0[/tex]
[tex]\alpha \in (0 ; 90 ^\circ) \Rightarrow \frac{ \alpha }{2} = 30 ^\circ \Rightarrow \alpha = 60 ^\circ[/tex]
Получихме,че за [tex]\angle \alpha= 60 ^\circ[/tex] лицето на $ABCD$ има екстремум.
Остава да намериш [tex]S''( \alpha )[/tex] и да провериш дали [tex]S''(60 ^\circ )< 0[/tex].Ако е изпълнено ,тогава за [tex]\angle \alpha = 60 ^\circ[/tex] трапецът $ABCD$ достига своето максимално лице.
Оставям на теб удоволствието да довършиш задачата.Успех!