За кои стойности на параметъра ..

[Гост]

За кои стойности на параметъра "р" уравнението x^4+px^3+(3p+29)x^2+px+1=0 има 4 реални различни корена?

[ptj]

За подобни уравнения от 4-та степен със симетрични коефициенти има общ метод:

1.) Делиш лявата и дясната страна на [tex]x^2[/tex] (, допустимо е защото 0-лата не е решение)

2.) Групираш степените с еднакви коефициенти

3.) Полагаш [tex]u=x+ \frac{1}{x}[/tex]

Трябва да получиш като резултат [tex](u^2-2)+pu+3p+29=0[/tex].

Последното уравнение трябва да има 2 различни реални корена [tex]u_1,u_2[/tex].

Като се върнеш назад в полагането всяко от получените 2 квадратни уравнения трябва да има по 2 различни корена.

Последно след като получиш 4-те корена трябва да провериш всички възможни двойки от различните уравнения да са различни.

Т.е. ако от едното уравнение си получил [tex]x_1 \ne x_2[/tex] и [tex]x_3 \ne x_4[/tex], остава да провериш [tex]x_3 \ne x_1 \ne x_4[/tex] и [tex]x_3 \ne x_2 \ne x_4[/tex]

[pal702004]

Като се върнеш назад в полагането всяко от получените 2 квадратни уравнения трябва да има по 2 различни корена.

Последно след като получиш 4-те корена трябва да провериш всички възможни двойки от различните уравнения да са различни.

Т.е. ако от едното уравнение си получил [tex]x_1 \ne x_2[/tex] и [tex]x_3 \ne x_4[/tex], остава да провериш [tex]x_3 \ne x_1 \ne x_4[/tex] и [tex]x_3 \ne x_2 \ne x_4[/tex]

Всъщност тук е достатъчно уравнението $u^2+pu+3p+27=0 \quad (*)$ да има два различни корена $u_1,u_2$, нито един от които не попада в интервала $[-2;2]$ (корените на уравнението $x+\frac 1 x=u$ са реципрочни, $x_1x_2=x_3x_4=1$ и няма как $x_1=x_3$ при условие $u_1 \ne u_2$)
Тоест, за $(*)$ получаваме система
[tex]\begin{array}{|l} D>0\\|u_1|>2\\|u_2|>2 \end{array}\Longrightarrow \begin{array}{|l} D>0 \\u_1^2>4\\ u_2^2>4 \end{array}[/tex]

Последните две условия са равносилни на

[tex]\begin{array}{|l} u_1^2+u_2^2>8 \\ \\ (u_1^2-4)(u_2^2-4)>0 \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{|l} (u_1+u_2)^2-2u_1u_2>8 \\ \\(u_1u_2)^2-4(u_1^2+u_2^2)+16>0 \end{array}[/tex]

С формулите на Виет, трябва да се получи $p \in (-\infty;-31) \cup (-6,2;6) \cup (18;+\infty)$

[Гост]

Извинявам се ,но може [quote][/quote]ли повече разяснения за отговорите с формулите на Виет ,тъй като не ми се получава?
Благодаря!