Стереометрична задача

[antoniy]

IMG_5365.jpeg (91.36 KiB) Прегледано 301 пъти

[S.B.]

Без заглавие - 2025-03-06T091917.850.png (243.41 KiB) Прегледано 274 пъти

[tex]\triangle ABC[/tex] е осното сечение на конуса, в което вписаната в конуса сфера се изобразява като вписана в триъгълника окръжност.
Нека $BC = l$ ,$O$ и $R$ са съответно центъра и радиуса на вписаната сфера.[tex]S_{сф. } = 2 \pi R^{2 }[/tex]
[tex]CH \bot AB , CH = h = 6, H[/tex] е центъра на основата на конуса, $r$ е радиусът ѝ ,[tex]S_{осн } = \pi r^{2 }[/tex]
По условие [tex]\frac{ \pi r^{2 } }{2 \pi R^{2 } } = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{ r^{2 } }{2 R^{2 } } = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{ r^{2 } }{ R^{2 } } = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{r}{R} = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }[/tex]

Нека [tex]\angle HBC = \varphi \Rightarrow \angle HBO = \frac{ \varphi }{2}[/tex] (защото $OB$ е ъглополовяща на [tex]\angle HBC[/tex])
Разглеждам [tex]\triangle HBO[/tex]:
[tex]\frac{HB}{HO} = \cotg \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow \frac{r}{R} = \cotg \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow \cotg \frac{ \varphi }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }[/tex]
$$\Rightarrow \cotg \frac{ \varphi }{2} = \frac{ \sqrt{6} }{2} $$

[tex]\begin{array}{|l} \cotg \displaystyle \frac{ \varphi }{2} = \displaystyle \frac{ \sqrt{6} }{2} \\ sin^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} + \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{ \varphi }{2} }{\sin \displaystyle\frac{ \varphi }{2} } = \displaystyle\frac{ \sqrt{6} }{2} \\ \sin^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} + \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \cos \displaystyle\frac{ \varphi }{2} = \displaystyle \frac{ \sqrt{6} }{2}. \sin\displaystyle \frac{ \varphi }{2} \\ \sin^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} + \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} = 1 \Leftrightarrow \end{array}[/tex]

[tex]\frac{6}{4} \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} + \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} = 1 \Leftrightarrow \sin^{2 } \frac{ \varphi }{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow \sin \frac{ \varphi }{2} = \frac{ \sqrt{10} }{5}, \cos \frac{ \varphi }{2} = \frac{ \sqrt{15} }{5}[/tex]
[tex]\sin \varphi = 2. \frac{ \sqrt{10} }{5}. \frac{ \sqrt{15} }{5}[/tex]
$$\Rightarrow \sin \varphi = \frac{2 \sqrt{6} }{5} , \cos \varphi = \frac{1}{5} $$

От [tex]\triangle HBC \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{HC}{BC} = \sin \varphi \Leftrightarrow \frac{6}{l} = \frac{2 \sqrt{6} }{5} \Rightarrow l = \frac{5 \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]\frac{HB}{BC} = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{HB}{l} = \frac{1}{5} \Rightarrow r = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]

[tex]S_{ок } = \pi. r.l \Leftrightarrow S_{ок } = \pi \frac{ \sqrt{6} }{2} . \frac{5 \sqrt{6} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ок } = \frac{15}{2} = 7,5 $$