Най-голямо лице на триъгълник

[Гост]

В правоъгълния триъгълник ABC е вписана окръжност,която се допира до хипотенузата AB в т.К.
Ако AB = 17 см , а AK = x , да се определи за коя стойност на x лицето на триъгълника ABC е най-голямо.

[S.B.]

В правоъгълния триъгълник ABC е вписана окръжност,която се допира до хипотенузата AB в т.К.
Ако AB = 17 см , а AK = x , да се определи за коя стойност на x лицето на триъгълника ABC е най-голямо.

Без заглавие - 2025-05-12T091333.739.png (211.56 KiB) Прегледано 419 пъти

Нека вписаната окръжност има радиус $r$ и център $O$,точките $K,P,Q$ са допирните точки на окръжността съответно със страните $AB,BC,AC$
Използвам ,че $AK = AQ,QC = r, KB = BP ,PC = r$ (ЗАЩО?) и формулите за лице на триъгълник ,получавам:

[tex]\begin{cases} S = \displaystyle \frac{AC.BC}{2} \\ S = p.r \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S= \displaystyle\frac{(x+r)(17-x+r)}{2} \\ S = (17+r ).r\end{cases} \Rightarrow \displaystyle \frac{(x+r)(17-x+r)}{2} = (17+r).r[/tex]

[tex]\frac{x+r)(17-x+r)}{2} = (17 + r).r[/tex]

[tex]\frac{17x - x^{2 }+xr + 17r -xr + r^{2 } }{2} = (17+r).r[/tex]

[tex]\frac{17x - x^{2 } + 17r + r^{2 } }{2} = (17+r).r \Leftrightarrow \frac{x(17 - x) +r(17 +r)}{2} = (17 + r).r[/tex]

Знаем, че $(17 + r).r = S$ и след заместване в уравнението се получава:

[tex]\frac{x(17 - x) + S}{2} = S \Leftrightarrow x(17 +x) + S = 2S \Leftrightarrow S = x(17 - x)[/tex]
$$\Rightarrow S(x) = - x^{2 }+ 17x $$

[tex]S'(x) = -2x + 17[/tex]
[tex]S'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 17 = 0 \Rightarrow x = 8,5[/tex]
За $x = 8,5$ функцията $S(x)$ притежава екстремум.
[tex]S''(x) = -2 < 0 \Rightarrow[/tex] функцията достига своя максимум за $x = 8,5$
$$S_{max } = - (8,5)^{2 } + 17.8,5 = - 72,25 + 144,5 = 72,25 cm^{2 }$$

[Гост]

Благодаря Ви!

[pal702004]

Между правоъгълните триъгълници с дадена хипотенуза най-голямо лице има равнобедренния.

$\dfrac 1 2 ab \le \dfrac{a^2+b^2}{4}=\dfrac{c^2}{4}$ при това равенство се достига при $a=b$

В равнобедренния триъгълник ъглополовящата към основата е и медиана, и височина, така че точка $K$ е средата на основата (хипотенузата)