Граница на функция

[Anito]

Запецнх на едни задачк от граница и не мога да се справя и за това моля за помощ:
да се намери граница при х клонящо към 90градуса на (х-90гр)тангенс от х
при x->a на sin^2x-sin^2a цялото върху х^2-a^2
при х->2 на x^2-4 цялото върху cos(∏/4*x)

[martin123456]

1
[tex]\lim_{x\rightarrow 90^\circ}{(x-90^\circ)tgx}=\lim_{x\rightarrow 90^\circ}{(x-90^\circ)ctg(x-90^\circ)}=\lim_{x\rightarrow 90^\circ}{\frac{x-90^\circ}{\sin{(x-90^\circ)}\cos{(x-90^\circ)}}[/tex][tex]=\lim_{x\rightarrow 90^\circ}{\frac{x-90^\circ}{\sin{(x-90^\circ)}}.\lim_{x \rightarrow 90^\circ}\cos{(x-90^\circ)}}=1.1=1[/tex]

2
[tex]\lim_{x \rightarrow a}\frac{sin^2{x}-sin^2{a}}{x^2-a^2}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{(\sin{x}+\sin{a})(\sin{x}-\sin{a})}{(x+a)(x-a)}=\lim_{x \rightarrow a}\frac{4\sin{\frac{x+a}{2}\cos{\frac{x-a}{2}}}\cos{\frac{x+a}{2}\sin{\frac{x-a}{2}}}}{(x+a)(x-a)}=[/tex][tex]\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin{(x+a)}\sin{(x-a)}}{(x+a)(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin{(x+a)}}{x+a}.\lim_{x \rightarrow a}\frac{\sin{(x-a)}}{x-a}=\frac{\sin{2a}}{2a}.1[/tex]

3
[tex]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{\cos{(\frac{x\pi}{4})}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{\sin{(\frac{\pi}{2}-\frac{x\pi}{4})}}[/tex]. За удобство да положим [tex]y=\frac{\pi}{2}-\frac{x\pi}{4}[/tex]. Значи [tex]4y=2\pi-x\pi=\pi(2-x) \Rightarrow 2-x=\frac{4y}{\pi} \Rightarrow x=2-\frac{4y}{\pi} =\frac{2(\pi-2y)}{\pi}[/tex]. Числителят на границата значи е [tex]x^2-4=\frac{4(\pi-2y)^2}{\pi^2}-4=4.\frac{(\pi-2y)^2-\pi^2}{\pi^2}=4.\frac{-4y\pi+4y^2}{\pi^2}=16.\frac{y\pi+y^2}{\pi^2}=y.\frac{16\pi+16y}{\pi^2}[/tex]. От полагането имаме [tex]y \rightarrow 0 \Leftrightarrow x \rightarrow 2[/tex]. Границата става [tex]\lim_{y \rightarrow 0}\frac{y}{\sin{x}}.\frac{16\pi+16y}{\pi^2}=1.\frac{16\pi}{\pi^2}=\frac{16}{\pi}[/tex]