Меню
Допирателните на графиката на функцията [tex]f(x) = 2x^2 - 2x + 3[/tex] в т. A с абциса x = 0 и в т. B с абциса x=1 се пресичат в т. С. Да се пресметне [tex]S_{\Delta ABC}[/tex]. Отг: [tex]S = \frac{1}{2}[/tex]
Не я решавам по най-оптимизираният начин. Някой би ли дал по-добра идея?
Решението ми:
[tex]f(1) = 3[/tex]
[tex]f(0) = 3[/tex]
[tex]f'(x) = 4x - 2;[/tex]
[tex]f'(1) = -2[/tex]
[tex]f'(0) = 2[/tex]
Сега, по условие допирателните A и B се пресичат в С. Според учебника ми, функцията на допирателната е равна на:
[tex]f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)[/tex]
=> в точката [tex]C[/tex] с абциса [tex]y[/tex] тва горе тряя да е равно за двете допирателни.
[tex]f'(1)(x-1) + 3 = f'(0)(x-0) + 3[/tex] <=> [tex]x = \frac{1}{2}[/tex]
Сега намирам ординатата, като замествам с това х, което съм получил.
[tex]f'(0)(x-0) + 3 = -2x + 3[/tex]
[tex]y = -2\frac{1}{2} + 3 = 2[/tex]
Най-накрая:
[tex]A(0, 3)[/tex]
[tex]B(1, 3)[/tex]
[tex]C(\frac{1}{2},2)[/tex]
И тук мисля, че го намирам по най-тъпия начин. Както и да е.
Разстоянието между А и B е [tex]AB = 1[/tex]
Разстоянието между А и C e [tex]AC = \sqrt{(0-\frac{1}{2})^2 + (3-2)^2} = \frac{\sqrt5}{2}[/tex]
Разстоянието между B и C е [tex]BC = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (3-2)^2} = \frac{\sqrt5}{2}[/tex]
Въпрос, вместо да повтарям намирането на AC и BC, как мога да докажа, че е равнобедрен без да го правя? Очевидно е на графиката, ама не знам как да го докажа без да се повтарям...
И така [tex]P_{\Delta ABC} = \sqrt5 + 1; p = \frac{\sqrt5 + 1}{2}[/tex]
По Херон: [tex]S^2 = \frac{\sqrt5 + 1}{2}.\frac{\sqrt5 - 1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]S = \frac{1}{2}[/tex]
И така, това ли е начинът(никъде не използвах коефициента к, има ли въобще къде да се използва?) и ако може на въпросчето отговор.
