Прави в куб

[Anito]

И аз стигнах до стериометрия и запецнах и имам нужда от помощ. Имам две задачки, които не мога да реша.
1 Даден е куб със стандартни означения и т.М -среда на ДД1. Равнината АВМ пресича СС1 в т.Р, да се докаже, че Р е среда на СС1
2Даден е куб, тР е пресечна точка на ВС1 и СВ1, т.Q -пресечна точка на А1С1 и В1Д1. Да се докаже, че АР и CQ са кръстосани. В сборника имаме упътване и учителката ни каза него да използваме, но на мен нещо не ми се получава. Пише да допуснем че правите са успоредни и да достигнем до противоречие с условието и до допуснем , че са пресекателни и пак противоречие. Идей как ще станат задачите?

[ptj]

Съществува само един сноп прави перпендикулярни на равнина, т.е. АB е успоредна на MP. Освен това от теоремата за трите перпендикуляра следва, че [tex]\angle MPB= \angle PMA=90^\circ[/tex]. Прилагаш я два пъти- за BP и MP в равнината ABCD ; АМ и МP в равнината ABCD.

П.П. По-бързо може да я решиш като задеш транслация с вектор [tex]\vec {AB}[/tex]. Тогава [tex]AA_1D_1D[/tex] се изобразява в [tex]BB_1C_1C[/tex] и средата на [tex]DD_1[/tex] в среда на [tex]CC_1[/tex]. Друга възможност е с вектори.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
За втората ако ги проектираш в равнината [tex]ABB_1A_1[/tex], образите им се получават върху диагонала [tex]A_1B[/tex] и правата свързваща т.[tex]A[/tex] и средата на [tex]BB_1[/tex]. Тъй като те не са успоредни, то и първообразите им не са успоредни (косвено следствие от теоремата за 3-те перпендикуляра).

Не лежат в една равнина, защото [tex]AM[/tex] е от равнината [tex]ACC_1A_1[/tex]. т.[tex]P[/tex] e от [tex]BCC_1B_1[/tex]. Пресечницата на двете равнинини е правата [tex]CC_1[/tex] и тъй като т.[tex]P[/tex] не е от нея, то не принадлежи и на [tex]ACC_1A_1[/tex]. T.e. [tex]CM \cap AP= \empty[/tex]

[ptj]

Всъщност за първата има много по-лесно решение. Използваш, че пресечниците на равнина с други две успоредни помежду си равнини са успоредни. Прилагаш я два пъти и получаваш, че сечението [tex]ABMP[/tex]е успоредник. После по 4-ти признак доказваш еднаквостта на триъгълниците [tex]AMD[/tex] и [tex]BCP[/tex].