В окръжност с център O и радиус R е построена хорда на

[desertrose]

Ето я задачата, благодаря предварително
В окръжност с център O и радиус R е построена хорда на разстояние R√3/3 от О. Измежду всички правоъгълници, вписани в малкия сегмент, намерете страните на този, който има най-голямо лице.

[ptj]

Не ми се чертае сега.

Едната страна може да я изразиш като [tex]2Rcos\alpha[/tex], a другата [tex]R(sin\alpha -\frac{1}{\sqrt{3} })[/tex], където [tex]arcsin\sqrt{\frac{1}{3 }}<\alpha <\frac{\pi }{2 }[/tex].
Тогава лицето ще e :
[tex]S(\alpha) =2R^2cos\alpha( sin\alpha -\frac{1}{\sqrt{3} })[/tex].

[tex]S'=2R^2(sin\alpha( sin\alpha -\frac{1}{\sqrt{3} })-cos^2\alpha)=0[/tex] <=>

<=>[tex]2sin^2\alpha -\frac{sin\alpha }{\sqrt{3} }-1=0[/tex]

Решения са: [tex]sin\alpha=\frac{\sqrt{3} }{2 }[/tex] и [tex]sin\alpha=-\frac{1 }{\sqrt{3} }[/tex], но от тях само първото е от дефиниционата област ([tex]\alpha =60^\circ[/tex]).

[tex]S''=2R^2(2.sin\alpha.cos\alpha -\frac{cos\alpha }{\sqrt{3} } -1)=
2R^2(sin{2\alpha} -\frac{cos\alpha }{\sqrt{3} } -1)[/tex]
[tex]S''(60^\circ )=2R^2(\frac{\sqrt{3} }{ 2} -\frac{1}{2\sqrt{3} }-1)=2R^2( \frac{1-\sqrt{3} }{ \sqrt{3} }) <0[/tex],

т.е. при [tex]\alpha =60^\circ[/tex] =>[tex]S[/tex] има максимум.

За страните получаваме: [tex]R[/tex] и [tex]R(\frac{\sqrt{3} }{ 2}-\frac{\sqrt{3} }{ 3} )=\frac{R\sqrt{3} }{6 }[/tex].

[desertrose]

Мерси много