Теорема на полицаите

[prodanov]

Да се намери границата:

[tex]\lim_{x\to\0} x\sin\frac{1}{x}[/tex]

Решението:
От теоремата на полицаите( Ако [tex]f(x) \ge g(x) \ge u(x)[/tex] и границата на [tex]f(x)[/tex] е равна на границата на [tex]u(x)[/tex] то тогава е и границата на [tex]g(x)[/tex]).

[tex]0 \le \lim_{x\to\0} x\sin\frac{1}{x} \le \lim_{x\to\0} x * 1[/tex] <=> [tex]\lim_{x\to\0} x\sin\frac{1}{x}[/tex] = 0

Задачката и решението го взех от лекциите на ФМИ. Всичко това е защото искам да се науча да я използвам тая теорема, а не мога. Въпрос: Как [tex]x \ge x\sin\frac{1}{x} \ge 0[/tex] ?

[martin.nikolov]

[tex]|x|\ge |x\sin\frac1x|\ge0[/tex]

[prodanov]

Може би просто не е обяснено като за 12то класник, ма що ли се учудвам. Пълно е с луди хора у фми-то.

[tex]-x\le x\sin\frac{1}{x} \le x[/tex]

[tex]\lim_{x\to\0} -x \le \lim_{x\to\0} x\sin\frac{1}{x} \le \lim_{x\to\0} x[/tex]

[tex]0 \le \lim_{x\to\0} x\sin\frac{1}{x} \le 0[/tex]

[ptj]

Проданов,
Допускаш неточност. Забравил си да пишеш, че [tex]x[/tex] клони към 0 с положителни стойности.

[prodanov]

А защо е така?

[martin.nikolov]

Може би просто не е обяснено като за 12то класник, ма що ли се учудвам. Пълно е с луди хора у фми-то.

[tex]-x\le x\sin\frac{1}{x} \le x[/tex]

Ако x е отрицателно, тези неравенства не са верни. Така, че по-внимателно с квалификациите, ако не си безгрешен.

[prodanov]

Тогава два случая ли трябва да се разглеждат?

[martin.nikolov]

Тогава два случая ли трябва да се разглеждат?

Да, или неравенствата с абсолютна стойност по-горе.