Т Лагранж

[prodanov]

Докажете че:

Ако [tex]0 < a < b[/tex] , то [tex]\alpha(b-a)a^{\alpha - 1} < b^{\alpha} - a^{\alpha} < \alpha(b-a)b^{\alpha-1}[/tex] при [tex]\alpha > 1[/tex]



[tex]b > a[/tex] по условие => [tex]b - a \ne 0[/tex]
=> деля на [tex](b-a)[/tex]

[tex]\alpha.a^{\alpha - 1} < \frac{b^{\alpha} - a^{\alpha}}{b - a} < \alpha.b^{\alpha-1}[/tex]

Прилагам Лагранж:
[tex]let \vspace{1 cm} a < c < b[/tex]

[tex]\alpha.a^{\alpha - 1} < f'(c) < \alpha.b^{\alpha-1}[/tex]

Въпрос: Как да докажа, че функцията [tex]f(x) = x^{\alpha}?[/tex]. Очевидно е, очебийно е, но не знам - доказва ли се, как?
Приемам го за даденост. Тогава:
[tex]f(c) = c^{\alpha}[/tex]
[tex]f'(c) = \alpha c^{\alpha-1}[/tex]

[tex]\alpha.a^{\alpha - 1} < \alpha. c^{\alpha - 1} < \alpha.b^{\alpha-1}[/tex]

[tex]\alpha \ne 0[/tex] по условие => [tex]:/ \alpha[/tex]

[tex]a^{\alpha - 1} < c^{\alpha - 1} < b^{\alpha - 1}[/tex]

Егати къде зацепих...

Въпроси:
1) Горния въпрос, удебеления
2) Това ли е начина?
3) Как се продължава?

[allier]

Леко си се объркал за това, за което се използва теоремата. В смисъл, вярно ти е донякъде решенията. Я напиши самата теорема в оригиналния си вид.

[prodanov]

Ако [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната в [tex][a,b][/tex] и диференцируема в [tex](a,b)[/tex], то [tex]\exists c \in (a,b)[/tex]: [tex]f'(c) = \frac{f(a) - f(b)}{a-b}[/tex]

Как трябва да е решението?
Решавам контролни по Анализ I във фми от миналите години, и там ги има, и там стигам до тази стъпка, последната в първия ми пост.

[allier]

Отлично. Сега използваш тази теорема за функцията [tex]f(x)=x^\alpha[/tex] в интервала [a,b]. Няма какво да доказваш за f(x). Ти сам я избираш да е толкова.

Какво се получава като приложиш теоремата?

[prodanov]

[tex]f(x) = x^{\alpha}[/tex]

[tex]\alpha \frac{f(a)}{a} < \frac{f(b) - f(a)}{b-a} < \alpha \frac{f(b)}{b}[/tex]

[tex]\alpha \frac{f(a)}{a} < f'(t) < \alpha \frac{f(b)}{b}[/tex]

[tex]\cancel\alpha \frac{f(a)}{a} < \cancel\alpha t^{\alpha - 1} < \cancel\alpha \frac{f(b)}{b}[/tex]

[tex]\frac{f(a)}{a} < \frac{f(t)}{t} < \frac{f(b)}{b}[/tex]

Пак същото си излиза. Просто така трябва да се запише ли(за 1ви въпрос)?

[allier]

Не бързай. Какво следва от теоремата - че съществува t в интервала (a,b), за което [tex]f'(t)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a }[/tex]. Оттук неравенството се свежда до [tex]a^{\alpha -1}<t^{\alpha -1}<b^{\alpha -1}[/tex]. Последното е изпълнено, тъй като [tex]a<t<b[/tex].

Грешката ти е, че се опитваш да прилагаш формули и да смяташ, вместо да помислиш как да конструираш доказателство. Трябва ти логическа схема все едно - от (1) следва (2), а от (2) следва (3) и т.н. и т.н.

[Mark]

[tex]f(x)=x^\alpha[/tex]
От теоремата за крайните нараствания на Лагранж следва
[tex]\frac{b^\alpha-a^\alpha}{b-a}=\alpha \eta^{\alpha-1}[/tex] [tex]\eta\in (a,b)[/tex] На мястото на [tex]\eta[/tex], поставям [tex]a[/tex] (респективно [tex]b)[/tex]
[tex]\frac{b^\alpha-a^\alpha}{b-a}>\alpha a^{\alpha-1}[/tex]
[tex]\frac{b^\alpha-a^\alpha}{b-a}<\alpha b^{\alpha-1}[/tex] т.е.
[tex]\alpha a^{\alpha-1}<\frac{b^\alpha-a^\alpha}{b-a}<\alpha b^{\alpha-1}[/tex]
Последните са верни, защото [tex]f'(x) \uparrow[/tex] (както ме поправи ptj)

[allier]

И ти си същия, mark. Бързаш. След като пишеш, че е от затворения интервал (a,b), как после го избираш да е a или b ... И как по-точно го избираш, след като е константа.

[Mark]

Грешно съм се изразил.Имам предвид, че щом [tex]\eta \in (a,b)[/tex], то ако заместим [tex]\eta[/tex] със [tex]a[/tex] ще следва едното неравенство, защото [tex]\eta[/tex] принадлежи на отворения интервал [tex](a,b)[/tex]
Защо да немога да заместя константата с друга непринадлежаща на нейния интервал?То от теоремата следва, че при някое [tex]\eta[/tex] от [tex](a,b)[/tex] ще е изпълнено равенството, ако [tex]c\notin (a,b)[/tex] и [tex]c>b[/tex] , то равенството става неравенство?

[ptj]

[tex]f(x)=x^\alpha[/tex]
От теоремата за крайните нараствания на Лагранж следва
[tex]\frac{b^\alpha-a^\alpha}{b-a}=\alpha \eta^{\alpha-1}[/tex] [tex]\eta\in (a,b)[/tex] Ако изберем [tex]\eta=a =>[/tex]...

Дотук прекрасно. Остана ти само една крачка:
Функцията [tex]x^{\alpha -1}[/tex] e строго растяща,
сл. от [tex]\eta\in (a,b)[/tex] =>[tex]\alpha a^{\alpha-1}<\alpha \eta^{\alpha-1}<\alpha b^{\alpha-1}[/tex]

[Mark]

Аз точно това казвам, понеже [tex]f''(x)>0[/tex] следва, че [tex]f'(x)[/tex] е ствого растяща и оттам за цисла непринадлежащи на интервала (a,b) следват неравенствата.

[ptj]

О.К, но друг път бъди по-точен .