Лагранж 2

[prodanov]

Докажете неравенството:

[tex]\frac{x-y}{\sin^2x} < cotgy - cotgx < \frac{x-y}{\sin^2y}[/tex]

[tex]0 < x < y < \frac{\pi}{2}[/tex]


Решение:

[tex]1)[/tex]
[tex]нека t: x < t < y[/tex];
[tex]f(x) = cotg x[/tex]
[tex]x \ne y[/tex] <=> [tex]x-y < 0[/tex]

[tex]2)[/tex]
[tex]\frac{x-y}{\sin^2x} < cotgy - cotgx < \frac{x-y}{\sin^2y}\hspace{10 mm} :/x-y[/tex]

[tex]\frac{1}{\sin^2x} > -\frac{f(y) - f(x)}{y-x} > \frac{1}{\sin^2y}[/tex]

[tex]3)[/tex]
От Т Лагранж => [tex]\forall x,y\hspace{10 mm} \exists \hspace{10 mm} t: f'(t) = \frac{f(y) - f(x)}{y-x}[/tex]
[tex]f'(t) = -\frac{1}{\sin^2t}[/tex]

[tex]\frac{1}{\sin^2x} > \frac{1}{\sin^2t} > \frac{1}{\sin^2y}[/tex]

4) [tex]y=sinx[/tex] разте в [tex][0, \frac{\pi}{2}][/tex] <=> горното неравенство е изпълнено.

от 1)..4) => [tex]\forall(0<x<y<\frac{\pi}{2}): \frac{x-y}{\sin^2x} < cotgy - cotgx < \frac{x-y}{\sin^2y}[/tex]

[allier]

Грешиш в делението - (x-y) е отрицателно ... Знакът се сменя.

[prodanov]

Оправих го, само строежа остана да си дадеш мнението. Става ли все едно е за изпит?

[allier]

Става за изпит. Само махни тоя ред let t ..., защото е ненужен. t ти трябва чак по-нататък в решението. И разте го смени на расте.