Въпрос за задачка от екстремуми

[prodanov]

Намерете най-малката стойност на параметъра p ,за която екстремумите на [tex]f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + \log_3p[/tex] и стойността ѝ при [tex]x=2[/tex] ,взети в някъв ред, образуват геометрична прогресийка.

[tex]f(2) = 2 + \log_3p[/tex]
[tex]f'(x) = 3x^2 - 12x + 9[/tex] с критични точки [tex]<1, 3>[/tex]

Въпроса ми е тук. Виждат се два члена от прогресията. Това означава ли че трябва да разгледам цели 3! случая за да я реша?
Може ли по логика да съкратим някой-друг случай?

ако [tex]t[/tex] е въпросния член на прогресията, по моя логика тряя най-малката стойност на p да е при t,1,3, т.е [tex]t = \frac{1}{3}[/tex]

но не се връзва с отговора. Получавам [tex]p = \frac{1}{\sqrt[3]{3^5}}[/tex]. Каква тогава трябва да е логиката?

[martin.nikolov]

Не разбирам какво точно си правил. Намерил си че екстремумите са при х=1 и х=3. Вижда се, че максимума е при х=1 и минимума е при х=3 и в този интервал фунцията намалява. Следователно [tex]f(1)>f(2)>f(3)[/tex]. От друга страна геометрична прогресия е или намаляваща или растяща. Значи са подредени по големина т.е. прогресията е или [tex]f(1), f(2), f(3)[/tex]или [tex]f(3), f(2), f(1)[/tex]. Разбира се ако едната редица е геометрична прогресия, то и другата е. Така, че имаш само един случай и условието да бъде прогресия е [tex]f(2)^2=f(1)f(3)[/tex]. Откъдето намираш стойностите на р.

п.с. Задачата така ли е написана с това "прогресийка"?

[prodanov]

Мда, глупости пиша. Мерси!

Но пак не се връзва.
Ако [tex]t = \log_3p[/tex]
то
f(1) = 4 + t
f(2) = 2 + t
f(3) = t

Условието не е изпълнено. Може би са имали в предвид аритметична прогресия.

[martin.nikolov]

Да, явно нещо не е както трябва условието. Или ние не виждаме нещо.

[ptj]

Мисля, че не четете правилно условието.

Мда, глупости пиша. Мерси!

Но пак не се връзва.
Ако [tex]t = \log_3p[/tex]
то
f(1) = 4 + t
f(2) = 2 + t
f(3) = t

Условието не е изпълнено. Може би са имали в предвид аритметична прогресия.

Шемет, смятал си с [tex]f'(x)[/tex]

[martin.nikolov]

Мисля, че не четете правилно условието.

Мда, глупости пиша. Мерси!

Но пак не се връзва.
Ако [tex]t = \log_3p[/tex]
то
f(1) = 4 + t
f(2) = 2 + t
f(3) = t

Условието не е изпълнено. Може би са имали в предвид аритметична прогресия.

Шемет, смятал си с [tex]f'(x)[/tex]

Смятам пак, ето

[tex]f(1)=1^3-6(1)^2+9(1)+\log_3p=4+\log_3p[/tex]

[tex]f(2)=(2)^3-6(2)^2+9(2)+\log_3p=2+\log_3p[/tex]

[tex]f(3)=(3)^3-6(3)^2+9(3)+\log_3p=0+\log_3p[/tex]

[ptj]

[tex]f(3)=(3)^3-6(3)^2+9(3)+\log_3p=27-6.9+27+\log_3p=54-54+\log_3p=0+\log_3p[/tex]

[martin.nikolov]

[tex]f(3)=(3)^3-6(3)^2+9(3)+\log_3p=27-6.9+27+\log_3p=54-45+\log_3p=9+\log_3p[/tex]

Е хайде сега 6.9=54!!!

[ptj]

9.5

[martin.nikolov]

9.5
Има грешка в условието (4=0), сигурно е "аритметична".

А, добре дошъл. Защо не внимаваш малко? Това щеше да спести няколко излишни поста.

Аритметична образуват за всяко положително р и най-малко няма.

[ptj]

[tex]f(1)^2=f(2)f(3)[/tex]
[tex](4+t)^2=t(t+2)[/tex]
[tex]6t=-16[/tex]
[tex]t=-\frac{8}{3 }[/tex]
[tex]\log_3p=-\frac{8}{3 }[/tex]
[tex]p=\sqrt[3]{\frac{3}{3^9 } }=\frac{\sqrt[3]{3} }{27 }[/tex]


Разсъжденията на Мартин са правилни само за положителни числа. В задачата се получава f(1)>f(2)>f(3), първото е положително, а останалите 2 отрицателни.

П.П. Сори за разсеяността.

[martin.nikolov]

Грешката ми е, че от самото начало бях решил, че частното на геометрична прогресия е положително, като част от дефиницията. Защо бях решил така, не знам.