Допирателна към графика, прогресия и логаритми

[leon92x]

Зад.1 Страните на триъгълник лежат на координатните оси и допирателната към графиката на фунцията [tex]y=f(x)=x^{2} +2x+1[/tex] в точка, с абсциса а, където [tex]a\in [-\frac{1}{2 };0][/tex]. Да се намерят стойностите на a, за които лицето на триъгълника е най-голямо.

Зад.2 Известно е, че n е естествено число, за което сумата от първите n члена на аритметична прогресия -1, 5, 11.... не надвишава 100. При така намеренето n, решете неравенството [tex]log_{\frac{1}{4-n }}(x^{n}+3x-3)\ge0[/tex]

[martin123456]

2
разликата е 6. значи [tex]S_n=-n+3n(n-1)=3n^2-4n[/tex]. искаме да е [tex]3n^2-4n -100 \le 0[/tex]. [tex]\sqrt{D} \approx 34.8 \Rightarrow n_1 \approx \frac{4 -34.8}{2.3}<0[/tex] и [tex]t_2=\frac{4 +34.8}{2.3} \approx 6.4[/tex]. окончателно [tex]n \le 6[/tex].
може би се има предвид че n е най-голямото такова число. само че неравенството има смисъл само за [tex]n\le 3[/tex], а също и 4-n не е 1, т.е. n не e 3
да кажем че имат предвид най-голямото n удовлетворяващо изсискването за сумата, за което неравенството има смисъл
сега трябва да решим [tex]\log_{\frac{1}{2}}{(x^2+3x+3)} \ge 0 \Leftrightarrow x^2+2x+3 \le 1 \Leftrightarrow x^2+3x+2 \le 0[/tex]. [tex]D=1[/tex], [tex]x_1=-1[/tex], [tex]x_2=-2[/tex]. окончателно [tex]x \in [-2,-1][/tex]

[leon92x]

В логаритмичното неравенството накрая е +3, а не -3 и за x се получава, че [tex]x\in [-4;1][/tex] Но няма значение, много ти благодаря за решенията на задачите Ако може само да провериш дали на първата задача отговорът е [tex]\frac{1}{ 2}[/tex]

[L.e.o]

1.
y(x) се допира/пресича в точки до коор.оси.
Нека това са: А(-1,0) и В (0,1). Третата точка С има координати х в интервала (-1,1) и у в интервала (0,1) (на графика се вижда лесно).
Лицето на ▲АВС е равна на основата АВ (чиято дължина е √2) и височината СH (H лежи на АВ).
Тоест търсим: Xc,Yc = ? , така, че СН да е максимално дълга.

Правата минаваща през АВ: у= х+1. В каноничен вид: х-у+1=0
Разтоянието СН (разтояние от точка до права):
[tex]d=\frac{|AXc+BHc+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|1.Xc-1.Yc +1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|Xc -Xc^2 -2Xc-1 +1|}{\sqrt{2}} = \frac{|-Xc^2 -Xc|}{\sqrt{2}}[/tex]
Лесно се вижда (наум), че d e max при Хс = -0.5. d max = 1/4√2

Smax на ▲АВС = АВ . dmax /2 = √2 . 1/2.4√2 = 1/8

[martin123456]

да видим 1во кое е уравнението на допирателната в точка [tex]a[/tex] към графиката на ф-цията:
[tex]t=f(a)+f'(a)(x-a)[/tex].
намираме [tex]f'(x)=2x+2[/tex] значи уравнението е [tex]t=t(x)=(a+1)^2+(2a+2)(x-a)=(a+1)(a+1+2x-2a)=(a+1)(2x-a+1)=2x(a+1)+1-a^2[/tex]
[tex]t(0)=1-a^2 >0[/tex]
[tex]t(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1-a}{2} >0[/tex]
значи получаваме един правоъгълен триъгълник с катети [tex]1-a^2[/tex] и [tex]\frac{1-a}{2}[/tex]
значи лицето му е [tex]\frac{(1-a^2)(1-a)}{4}[/tex]. значи [tex]4S=1-a-a^2+a^3[/tex]. намираме производната [tex]g'(a)=-1-2a+3a^2=(a-1)(a+\frac{1}{3})[/tex]. значи мак при [tex]a=-\frac{1}{3}[/tex]