Три показателни неравенства

[late]

1 зад. x[tex]^{3x+1}[/tex] >[tex]x^{x}[/tex]
2 зад. (x[tex]^{2}[/tex] +x+1) [tex]^{x}[/tex] <1
3 зад. 4[tex]^{x}\le[/tex]3.2[tex]^{x+\sqrt{x}}[/tex]+4[tex]^{1+\sqrt{x}}[/tex]

[stflyfisher]

1 зад. x[tex]^{3x+1}[/tex] >[tex]x^{x}[/tex]

[tex]DM x \ne 0[/tex]

[tex]1.) 0<x<1=>[/tex]

[tex]x^{3x+1}>x^x<=> 3x+1<x<=>x<-\frac{1}{2}=> x \in \emptyset[/tex]

[tex]2.) x>1=>[/tex]

[tex]x^{3x+1}>x^x<=> 3x+1>x<=>x>-\frac{1}{2}=> x \in (1;+\infty )[/tex]

[tex]3.) x=1=>[/tex]

[tex]1^{3.1+1}<1^1<=>1<1 => x=1[/tex] не е решение

[tex]4.)x=-1=>[/tex]

[tex](-1)^{3.(-1)+1}<(-1)^{-1}<=>(-1)^{-2}<(-1)^{-1}<=>\frac{1}{(-1)^2}<\frac{1}{(-1)^{1}}<=>[/tex]

[tex]1<-1=> x=-1[/tex] не е решение

[tex]5.) 3x+1=0=> x =-\frac{1}{3}[/tex]

[tex](-\frac{1}{3})^0>(-\frac{1}{3})^{-\frac{1}{3}}=> 1>-\sqrt[3]{3}=> x=-\frac{1}{3}[/tex] e решение


п.п. остава открит въпроса при [tex]x<0, x \ne -1, -\frac{1}{3}[/tex]

[stflyfisher]

2 зад. (x[tex]^{2}[/tex] +x+1) [tex]^{x}[/tex] <1

[tex]x^2+x+1=> D<0, a=1>0=>x^2+x+1>0, \forall x \in \Re=>(x^2+x+1)^0=1[/tex]

[tex](x^2+x+1)^x<(x^2+x+1)^0[/tex]

[tex]1.) 0<x^2+x+1<1<=>x \in (-1,0)[/tex]

[tex](x^2+x+1)^x<(x^2+x+1)^0<=>x>0=> x \in \emptyset[/tex]

[tex]2.)x^2+x+1>1=> x \in (-\infty ,-1) \cup (0,+\infty )[/tex]

[tex](x^2+x+1)^x<(x^2+x+1)^0<=>x<0=> x \in (-\infty ,-1)[/tex]

[tex]3.) x^2+x+1=1=> x_1=0, x_2=-1=>[/tex]

[tex]a.) x_1=0=>1^0<1^0,<=>1<1=> x_1=0[/tex] не е решение

[tex]b.) x_2=-1=>1^{-1}<1<=> 1<1=> x_2=-1[/tex] не е решение

[stflyfisher]

зад. 4[tex]^{x}\le[/tex]3.2[tex]^{x+\sqrt{x}}[/tex]+4[tex]^{1+\sqrt{x}}[/tex]

[tex]DM: x\ge 0[/tex]

[tex]4^x\le 3.2^{x+\sqrt{x}}+4.4^{\sqrt{x}[/tex]

[tex]2^{2x}\le 3.2^{x+\sqrt{x}}+4.2^{2\sqrt{x}}|:2^{2\sqrt{x}}>0[/tex]

[tex]2^{2x-2\sqrt{x}}\le 3.2^{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x} }+4[/tex]

[tex](2^{x-\sqrt{x}})^2-3.2^{x-\sqrt{x}}-4\le 0[/tex]

пол: [tex]2^{x-\sqrt{x}}=y>0[/tex]

[tex]y^2-3y-4\le 0[/tex]


[tex]y \in (0, 4]=>0<2^{x-\sqrt{x}}\le 4[/tex]

[tex]2^{x-\sqrt{x}}\le 2^2<=>x-\sqrt{x}\le 2[/tex]

[tex]x-\sqrt{x}- 2\le 0[/tex]

пол:[tex]\sqrt{x}=t\ge 0=>x=t^2[/tex]

[tex]t^2-t-2\le 0=>t \in [0,2][/tex]

[tex]=> 0\le \sqrt{x}\le 2<=>0\le x\le 4[/tex]

Окончателно: [tex]x \in [0,4][/tex]

п.п. Може да съм допуснал някакава грешка, но сега нямам време за проверка на решенията.