Стереометрия и планиметрия

[leon92x]

Задача 1. Дадена е полуокръжност с диаметър 2R. Нека точка M е от полуокръжността и [tex]\angle MAB=x[/tex]; [tex](0<x<\frac{\pi }{ 2})[/tex]. Допирателната в точка М пресича допирателните в точките А и В съответно в точките D и Т. Намерете при какъв [tex]\angle x[/tex] острият ъгъл между диагоналите на четриъгълник ABTD е най-малък.

Задача 2. В прав кръгов конус е вписана триъгълна пирамида, основата на която е равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC), вписан в основата на конуса, а върхът и точка D лежи върху околната повърхнина на конуса. Околните стени на пирамидата сключват равни ъгли с основата и. Ако [tex]\angle ACB= \gamma[/tex], [tex](\gamma => 60^\circ )[/tex], намерете отношението на обемите на конуса и пирамидата.

[L.e.o]

2.

Околните стени на пирамидата сключват равни ъгли с основата и. = проекцията на върха на пирамида върху основата е равноотдалечен от страните на триъглника => проецията на върха е центърът на Вписаната окръжност(точка Р).
Проекцията на височината на конуса върху основата е точка Q(чертеж 2).
γ ≥ 60° => точка Р е по-близо до т.С отколкото т.Q (при γ=60 , P и Q съвпадат)
Нека радуса на основата на конуса е R.
<ACB = γ
Sin.T.
AB/sinλ = 2R => AB = 2R.sinγ => AH=HB=R.sinγ
Нека MQ=H
Oбема на конуса:
Vk = 1/3 * πRR*H
<ACH = γ/2 , tg(γ/2) = AH/CH => CH = R.sinγ/tg(γ/2)
Лицето на ▲АВС: S = 1/2 * 2R.sinγ * Rsinγ/tg(γ/2) = (Rsinγ)^2/tg(γ/2)
Сега единствено ни остава да немирим височината на пирамидата NP (чертеж 3.)
За целни ни трябват дължините на СР и CQ.
CQ = R
<PAH = 45 - γ/4
PH = AH. tg(45-γ/4) = R.sinγ.tg(45-γ/4)
CP= CH-AH = R.sinγ/tg(γ/2) - R.sinγ.tg(45-γ/4) = R.sinγ(1/tg(γ/2) - tg(45-γ/4))
Oт чертеж 3.:
NP/CP = H/R => NP = H.sinγ(1/tg(γ/2) - tg(45-γ/4))
Oбема на пирамидата:
Vp = 1/3 * H.sinγ(1/tg(γ/2) - tg(45-γ/4)) * (Rsinγ)^2/tg(γ/2)

Vk/Vp = [1/3 * πRR*H] / [1/3 * H.sinγ(1/tg(γ/2) - tg(45-γ/4)) * (Rsinγ)^2/tg(γ/2)] = π / [(1/tg(γ/2) - tg(45-γ/4)) * sinγ^3/tg(γ/2)]

Дано не съм оплескал сметките.