Примерна тема за СУ от сп. Математика

[MathBet]

Здравейте, прикачил съм примерната тема от списание Математика за СУ. Ако на някой му се решава можем да си сверим отговорите на първите девет задачи. Но 10) ми създава проблеми. Вижда се, че една двойка е a=1 и b=0, но нищо друго не мога да докажа...

img398.jpg (73.01 KiB) Прегледано 749 пъти

[WEBER]

Снимките на НЛО са по ясни и разбираеми.

[MathBet]

Коментирай тогава във форума за НЛО, а не тук. Ако нещо не ти е ясно просто можеше да питаш, а не да се правиш на оригинален.

[ganka simeonova]

Лчино на мен задачата ми хареса, затова и ще предложа решение, което надявам се да е вярно.
Искаме да намерим онези ст-сти на параметрите, за които равенството да е вярно за всяко х.
Това означава двете функции да са тъждествено равни.
Понеже [tex]f(x)=sin(ax+b)[/tex] е нечетна ( защото синусът е нечетна ф-я), а
[tex]g(x)=asinx+b[/tex] е ничто четна, нито нечетна, за да са тъждествени трябва g(x) също да е нечетна, т.е
[tex]b=0=>sin(ax)=asinx[/tex]
Нека а е такова число, при което двете ф-ии приемат едни и същи стойности за всяко х.
Тогава [tex]sin(a{\frac{\pi }{2} } )=a sin{\frac{\pi }{2 }} =>sin(a\frac{\pi }{2 } )=a[/tex](1)

[tex]sin(a{\frac{5\pi }{2 } })=a sin{\frac{5\pi }{2 }} =>sin(a{\frac{5\pi }{2 }} )=a[/tex]=>[tex]sin(a\frac{5\pi }{2 } )=sin(a{\frac{\pi }{2 }} )[/tex]
От последното равенство следва, че [tex]a\frac{5\pi }{ 2} =a\frac{\pi }{2 } +2k\pi =>a=\pi =>a[/tex]
е цяло число.
От равенство (1) =>[tex]-1\le a\le 1=>[/tex] а може да приема някоя от стойсностите [tex]-1; 0; 1[/tex]

[skidrow]

Може ли малко разяснения по задача 9 ? Благодаря!

[strangerforever]

Може ли малко разяснения по задача 9 ? Благодаря!

Нека CF е медианата от C и CL e ъглополовящата, които минават съответно през M и О.
Талес за FCL - [tex]\frac{CM}{CF} = \frac{1}{FL} = \frac{2}{3} => FL = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\frac{CO}{CL} = \frac{2}{3}[/tex]

Сега тук едно малко уточнение, което няма отношение към крайния отговор, но все пак:

[tex]AC<BC => \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} < 1 => AL < LB[/tex]
Понеже CF е медиана и AF=BF, то L е между A и F.

[tex]FL = \frac{3}{2} => AL = \frac{c-3}{2}[/tex]
Построяваме ъглопол. от A, която минава през O.
[tex]\frac{CO}{OL} = \frac{1}{2} = \frac{\frac{c-3}{2}}{b} => b = c-3[/tex]
Построяваме през B.
[tex]\frac{CO}{OL} = \frac{1}{2} = \frac{\frac{c+3}{2}}{a} => a = c+3[/tex]

P = 45 = c+3 + c - 3 + c
c = 15
b = 12
a = 18

[skidrow]

Много благодаря!

[abs]

Ще предложа и моето решение на девета задача, за разнообразие.

Медицентърът [tex]M[/tex] и трите медиани разделят [tex]\Delta ABC[/tex] на 6 равнолицеви триъгълника с лице [tex]S[/tex]

Нека [tex]MN[/tex] е височина в [tex]\Delta ABM[/tex]. Oт [tex]OM || AB[/tex] и [tex]OT \bot AB[/tex] ( [tex]OT[/tex] - радиус на вписаната окръжност ) следва [tex]MN=OT[/tex].

[tex]S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AB.CH =\frac{1}{2}P.OT=\frac{1}{2}45.OT=6S[/tex] [tex](1)[/tex]

[tex]S_{\Delta ABM} = \frac{1}{2} AB.MN=\frac{1}{2}AB.OT=2S[/tex] [tex](2)[/tex]

от [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex], намираме [tex]AB=15[/tex]

От [tex]\Delta LDC[/tex] по Талес : [tex]\frac{OM}{DL}=\frac{CM}{CD}[/tex] (като имаме предвид свойството на медицентъра) намираме [tex]DL = \frac{3}{2}[/tex]

[tex]AL = AD - DL = 6[/tex]

[tex]BL = BD + DL = 9[/tex]

Oт свойството на ъглополовящата [tex]CL[/tex] имаме [tex]\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}[/tex] [tex](3)[/tex]

[tex]AB + BC + AC = 45[/tex], предвид [tex]AB=15[/tex], [tex]AC + BC=30[/tex] [tex](4)[/tex]

От [tex](3)[/tex] и [tex](4)[/tex] намираме [tex]AC=12[/tex]; [tex]BC=18[/tex]


Забележка: има и по-успoредни прави от [tex]OM[/tex] и [tex]AB[/tex]

[abs]

зад. 1
[tex]cos^2(x) + 2sin(x) = sin^2(x) + cos^2(x) =1[/tex]

[tex]sin(x)(sin(x) -2) = 0 \Rightarrow \fbox{x = k\pi} , k\in \mathbb{Z}[/tex]

зад. 2
[tex]x^3 - 2x^2 + 2x - 1= (x-1)(x^2 -x +1) < 0 \Rightarrow \fbox{x \in (-\infty , 1)}[/tex]

зад. 3
[tex]R = \frac{5}{2} \Rightarrow BD = 5[/tex]

[tex]\left| \begin{matrix} AB+AD = 7 & \\ AB^2 + AD^2 = 25 & \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{matrix} AB + AD = 7 \\ AB.AD = 12 \end{matrix}\right.[/tex] или [tex]S = \fbox{AB.AD = 12}[/tex]

зад. 4
[tex]S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = 3\sqrt{119}[/tex], [tex]p=\frac{1}{2} (AB+AC+BC) = 17[/tex]

[tex]\frac{S_{\Delta ACD}}{S_{\Delta BCD}} = \frac{1}{3}[/tex][tex](1)[/tex]

[tex]S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} AB.BC.sin(\angle ABC )=S_{\Delta ACD} + S_{\Delta BCD}[/tex] [tex](2)[/tex]

От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] намираме [tex]sin(\angle ABC ) = \frac{3}{80} \sqrt{119} , S_{\Delta BCD} = \frac{9}{4}\sqrt{119}[/tex]

Сега от [tex]S_{\Delta BCD} = \frac{1}{2}BC.BD.sin(\angle DBC)[/tex], намираме [tex]\fbox{BD=12}[/tex] ([tex]\angle ABC = \angle DBC[/tex])

[tex]AB = AD + BD[/tex], предвид [tex]BD = 12[/tex], намираме [tex]\fbox{AD=4}[/tex]

От [tex]Cos.T.[/tex] за [tex]S_{\Delta BCD}[/tex] и [tex]S_{\Delta ACD}[/tex] : [tex]\left| \begin{matrix} BC^2 = CD^2 + BD^2 -2BD.CD.cos(\angle BDC) & \\ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD.CD.cos(\pi - \angle BDC) & \end{matrix}\right.[/tex]
намираме [tex]\fbox{CD = 5}[/tex]

зад. 5
[tex]f(x)=\left\{ {x^2 +2x + 4 ,\mbox{ x \ge - 2} \atop x^2 -2x - 4 ,\mbox{x < -2}} \right.[/tex]

за [tex]x \in [-2, +\infty )[/tex] най-малката стойност на [tex]f(x)=f(x=-1)=3[/tex]

за [tex]x \in [-\infty, -2)[/tex] най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex] е "почти" в точката [tex]x_0=-2[/tex] (за това твърдение не съм много сигурен ), но [tex]f(-2) > f(-1) \Rightarrow f_{min}(x) = 3[/tex]

зад. 6

[tex]\sqrt{2^x - 2} \le 4 - 2^x[/tex] [tex](1)[/tex], [tex]DM : \left| \begin{matrix} 2^x -2 \ge 0 & \\ 4 - 2^x \ge 0& \end{matrix}\right. \Rightarrow x \in [1,2][/tex]

при [tex]x \in [1,2][/tex], [tex](1) \Leftrightarrow 2^{2x} - 9.2^{x} + 18 \ge 0[/tex] с решения в интервала [tex]\fbox{[1,\log_{2} 3]}[/tex]

зад. 7
[tex]l = \sqrt{x^2 + f^2(x)}[/tex], онз.: [tex]g(x) = x^2 + f^2(x) = x^2 + \frac{16}{x} = x^2 + \frac{8}{x} + \frac{8}{x}[/tex]

Oт [tex]AM\ge GM[/tex] [tex]g(x) \ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{x} . \frac{8}{x} . x^2} = 12 \Rightarrow \fbox{l_{min} = 2\sqrt{3}}[/tex]

Това получвам аз, 8 зад. може би по-късно, ако някой не ме изпревари.