Трудна задача

[MasterZ]

да се докаже
x.cosx<?2 x принадлежи на интервала(0;?/2)

доста се мъчих на тая задача, ако някой има дори идеи моля да сподели

[martin123456]

не се разбира условието

[MasterZ]

не се разбира условието

извинявам се малко сакато го написах

[martin123456]

док, че
[tex]x\cos{x}<\sqrt{2}[/tex], [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex] ?

[MasterZ]

док, че
[tex]x\cos{x}<\sqrt{2}[/tex], [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex] ?

да но откъде взе математическите символи нещо не успях да ги намеря.
нов сам в сайта

[martin123456]

ами можеш да ползваш тези символи, които ползваш или да ползваш latex. символите на latex тук трябва да са оградени с квадратни скоби tex и квадратни скоби /tex. за latex прочети в гугъл

[martin123456]

[tex]x\cos{x}<\sqrt{2}[/tex], [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex]
[tex]f(x)=x\cos{x}-\sqrt{2}[/tex]
[tex]f'(x)=\cos{x}-x\sin{x}=\sin{x}(cotgx-x)[/tex]
[tex]cotg[/tex] намалява в [tex](0,\frac{\pi}{2})[/tex], а [tex]y=x[/tex] расте. [tex]g(x)=cotgx-x[/tex]. значи уравнението [tex]g(x)=0[/tex] има максимално един корен в този интервал. [tex]g(\frac{\pi}{4})=1-\frac{\pi}{4}>0[/tex], [tex]g(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}[/tex]. значи той е [tex]x_0[/tex] в [tex](\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})[/tex]. значи [tex]g(x)>0 x \in (0, x_0)[/tex] и [tex]g(x) < 0 x \in (x_0,\frac{\pi}{2})[/tex].
значи [tex]f'(x)=0[/tex]<=>[tex]x=x_0[/tex], понеже [tex]\sin{x}>0[/tex] е дадения интервал и [tex]f(x) \uparrow x \in (0,x_0)[/tex] и [tex]f(x) \downarrow x \in (x_0, \frac{\pi}{2})[/tex].
значи максимумът на [tex]f(x)[/tex] се достига в [tex]x=x_0[/tex]. достатъчно е значи да пок, че [tex]x_0\cos{x_0}<\sqrt{2}[/tex]. като вземем предвид че [tex]cotgx_0=x_0[/tex] след заместване става [tex]\frac{1-\sin^2{x_0}}{\sin{x_0}}<\sqrt{2}[/tex]<=>[tex]1-t^2<\sqrt{2}t[/tex], [tex]t=\sin{x_0}[/tex]<=>[tex]t^2+\sqrt{2}t-1>0[/tex], [tex]t=\sin{x_0}[/tex]. от последното, тъй като [tex]\sin[/tex] расте в дадения минтервал, а [tex]x_0 \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})[/tex]=>[tex]t \in (\frac{\sqrt{2}}{2},1)[/tex]. от друга страна кв у-ние има един отрицателен и 1 положителен корен [tex]x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}[/tex]. забелязваме че [tex]x_2 < \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], откъдето следва неравенството

[MasterZ]

хмм за този начин на работа не се досетих, опитах 2-3 пъти с производни, но при мен не се получи Thanks

[martin123456]

да, с производни само няма да стане, както и без тях
тя наистина си е по трудна, защото не знаем [tex]x_0[/tex], а трябва да предполагаме/изследваме

[martosss]

док, че
[tex]x\cos{x}<\sqrt{2}[/tex], [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex] ?

[tex]1)\: x\in \left(0\: ;\: \frac{\pi}{4}\right)\Right \begin{tabular}{|l}x<\frac{\pi}{4}\\\cos x<1\end{tabular}\Right x*\cos x<\frac{\pi}{4}<\sqrt 2\\2)\: x\in \left[\frac{\pi}{4}\: ;\: \frac{\pi}{2}\right)\Right \begin{tabular}{|l}x<\frac{\pi}{2}\\\cos x\le\frac{\sqrt 2}{2}\end{tabular}\Right x*\cos x<\frac{\pi\sqrt 2}{4}[/tex]
сега понеже [tex]\pi<4\Right \frac{\pi}{4}<1\Right \frac{\pi\sqrt 2}{4}<\sqrt 2[/tex]
Оттук следва, че [tex]x*\cos x<\frac{\pi\sqrt 2}{4}<\sqrt 2[/tex].
С това задачата е решена.
Моля ви се, покажете ми къде греша, че ми изглежда прекалено лесно, за да е истина!

[MasterZ]

браво много компактно решение Марто, между другото успях да я реша и със граници , но твоят вариант повече ми харесва

[martosss]

Еми да, по-простичко е винаги по-добре В случая просто едното намалява, другото расте, и е добре да се разглеждат интервалите. Ключовото в случая е, че тази граница корен от две е много висока и не се достига. Ето, прикачвам графиката на функцията в интервала от 0 до п върху две. Както виждате, даже не се достига 1. Щяха да ни затруднят доволно много ако бяха сложили 0.6, та даже и маалко по-ниско. Можеше да се пита кога се достига максимум...Нещо такова. В случая нещата са много лесни, все едно да трябва да се докаже, че (x-4)?-3>-8