Задача за доказателство от забележителни точки в триъгълник

[jonben]

Здравейте,
Как може да се докаже, че ако две от забележителните точки (независимо кои) на триъгълник съвпадат, то триъгълникът е равностранен?

[artur.balabanov]

Нека триъгълникът е АВС, а ортоцентърът е О. Нека той съвпада с центъра на вписаната окръжност. [tex]AO \bot BC[/tex], но [tex]\angle BAO = \angle CAO[/tex] => ъглополовящата и височината през върха А съвпадат и AB=AC (1). Аналогично доказваме и за върховете В и С. Получаваме, че BA=BC (2) и CA=CB (3). От (1), (2) и (3) следва, че AB=BC=CA. Следователно триъгълникът е равностранен. Аналогично се доказва, ако знаем, че медицентърът и центърът на вписаната окръжност съвпадат или медицентърът и ортоцентърът съвпадат. Нека центърт на описаната окръжност е О и симетралите на страните AB, BC и CA пресичат страните AB, BC и CA съответно в точките M, N и P. Ако О съвпада с медицентъра, то получаваме, че C, О и М лежат на една права.[tex]=>C\in S_{AB} => AC=BC[/tex]. Аналогично доказваме, че AB=AC и, че BA=BC. Получаваме, че AB=BC=CA. Следователно триъгълникът е равностранен. Ако центърт на описаната окръжност съвпада с ортоцентъра пак получаваме, че C, О и М лежат на една права и имаме същото доказателство. Получаваме, че C, О и М лежат на една права, и ако разгледаме случая, че центърт на описаната окръжност съвпада с медицентъра и пак го доказваме по същия начин.