15-цифрено естествено число.

[metrix_girl]

Дадено е 15-цифрено естествено число, записано само чрез 0 и 1, което е кратно на 81, но не е кратно на 10. Да се докаже, че ако задраскаме една от нулите му полученото число няма да се дели на 81.

[Martin Nikovski]

Нека числото има вида [tex]\overline{a_1a_2...a_{14}a_{15}}[/tex], където [tex]a_1[/tex], [tex]a_2[/tex],...,[tex]a_{15}[/tex] са цифрите [tex]0[/tex] или [tex]1[/tex].
Тъй като числото не се дели на [tex]10[/tex], последната му цифра не е [tex]0[/tex].
Тогава [tex]a_{15}=1[/tex] и числото придобива вида [tex]\overline{a_1a_2...a_{14}1}[/tex].
Използвайки стандартен запис на число, получаваме:
[tex]\overline{a_1a_2...a_{14}1}=a_1.10^{14}+a_2.10^{13}+...+a_{14}.10+1[/tex]
Този израз можем да запишем като [tex]\overline{a_1a_2...a_{14}1}=\left(a_1.10^{14}+1-1\right)+\left(a_2.10^{13}+1-1\right)+...+\left(a_{14}.10+1-1\right)+\left(1+1-1\right)[/tex]
(за всяко от събираемите добавяме и изваждаме единица).
[tex]\overline{a_1a_2...a_{14}1}=\left(a_1.10^{14}-1\right)+\left(a_2.10^{13}-1\right)+...+\left(a_{14}.10-1\right)+\left(1-1\right)+15[/tex]
(групираме [tex]+1[/tex] от всички [tex]15[/tex] скоби и пишем сбора на тези единици като [tex]15[/tex]).
[tex]\overline{a_1a_2...a_{14}1}=\left(a_1.10^{14}-1\right)+\left(a_2.10^{13}-1\right)+...+\left(a_{14}.10-1\right)+15[/tex]

Разглеждаме двете възможности за [tex]a_i[/tex]:

1. [tex]a_i=0[/tex]
Тогава [tex]a_i.10^{n-i}-1=0-1=-1[/tex]

2. [tex]a_i=1[/tex]
Тогава [tex]a_i.10^{15-i}-1=1.10^{15-i}-1=\underbrace{999...9}_{15-i\ \cyr{devetki}}[/tex].

Установихме, че всяко събираемо от вида [tex]a_i.10^{15-i}-1[/tex],за което [tex]a_i=1[/tex],
се дели на [tex]9[/tex], тъй като всяка негова цифра е [tex]9[/tex].
Тъй като по условие числото се дели на [tex]81[/tex] (а оттам и на [tex]9[/tex]),трябва да се дели на [tex]9[/tex] и събираемото [tex]15+n.\left(-1\right)=15-n[/tex], където [tex]n[/tex] е броят на нулите в числото (от 1. за всяко [tex]a_i=0[/tex] изваждаме единица).
Единствената възможност е [tex]n=6[/tex], при което [tex]15-n=15-6=9[/tex].
След разделяне на [tex]9[/tex] полученото число се представя като сбор от събираеми от вида [tex]\underbrace{111...1}_{15-i\ \cyr{edinitsi}}[/tex] (в случаите, когато [tex]a_i=1[/tex]) и числото [tex]1[/tex] (остатък от делението на числото [tex]9[/tex] с [tex]9[/tex]).
Тъй като първоначалното число се дели на [tex]81[/tex] и сме го разделили веднъж на [tex]9[/tex], то се дели още веднъж на [tex]9[/tex]...
Тогава сборът от единиците на отделните събираеми също се дели на [tex]9[/tex]. Нека той е [tex]k[/tex].
Когато зачеркнем някоя от нулите, числото отново се дели на [tex]9[/tex], тъй като сборът от цифрите му не се променя. Трябва обаче полученото частно също да се дели на [tex]9[/tex]. При зачеркването на някоя от нулите всички предхождащи я единици се "преместват" с една позиция "назад" - към последната цифра. Единиците в първоначалното число са [tex]15-n=15-6=9[/tex], но една от тях задължително стои на последно място.
Затова зачеркването на нулата може да измести не повече от 8 единици.
Освен това на "първо място" винаги стои единица (а не нула!), следователно премахването на една нула винаги ще измести поне 1 единица - тази която стои на "първо място"...
Събираемите аналогично са от вида [tex]\underbrace{111...1}_{14-i\ \cyr{edinitsi}}[/tex] (и числото [tex]1[/tex])...
След разделянето на [tex]9[/tex] сборът на тези новополучени единици може да се намали с от [tex]1[/tex] до [tex]8[/tex], което означава, че няма да се дели на [tex]9[/tex], за разлика от [tex]k[/tex]...
Следователно числото след зачеркването на една от нулите НЕ СЕ ДЕЛИ на [tex]81[/tex].
П.П. Доста сложно стана, ако има въпроси... ask!!