Екстремална планиметрична...

[uchenik75]

Задачата е следната: От всички четириъгълници ABCD, вписани в окръжност с радиус 1 и такива, че АВ-диаметър да се намери онзи, който има най-голямо лице. Отг: трапецът с малка основа CD=1

Приемам, че т.О-среда на АВ и АВСD ми е произволен вписан четириъгълник. Кръщавам [tex]\angle AOD=\alpha[/tex] , [tex]\angle COD=\beta[/tex] , [tex]\angle BOC=\gamma[/tex]. Тогава [tex]S_{ABCD}[/tex]=[tex]S_{AOD}[/tex]+[tex]S_{COD}[/tex]+[tex]S_{BOC}[/tex]=0,5(sinα+sinβ+sinγ) Сега понеже немога да сведа функцията до 1 променлива α,β или γ затова ми е необходимо ограничението на sinα+sinβ+sinγ. Според мен отляво е така 0<sinα+sinβ+sinγ< ? за дясната част ми е интересно как ще е(ако някой знае и му хрумне нещо да пише как става )

[dim]

Използвай (и докажи) неравенството:[tex]sin{\alpha }+sin{\beta }+sin{\gamma }\le \frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex](*)

Имаме да докажем:
[tex]S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{A_{1}O_{1}D_{1}}+S_{C_{1}O_{1}D_{1}}+S_{B_{1}O_{1}C_{1}}=0,5(sin{\alpha }+sin{\beta }+sin{\gamma )\le S_{ABCD}=\frac{1}{4}3\sqrt{3}[/tex], което е същото като неравенството със синусите.
(*) Става лесно с Йенсен.
[tex]A_{1}B_{1}C_{1}D[/tex] e произволен, [tex]ABCD[/tex] равнобедрен трапец.

[dim]

Ето и едно друго решение, което вчера нямах време да разшиша:

[tex]sin{\alpha }+sin{\beta }+sin{\gamma }=\frac{2S(a+b+c)}{abc}=\frac{4p sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{abc}=[/tex]
[tex]4p\sqrt{p} \sqrt{\frac{(p-a)}{a^2}\frac{(p-b)}{b^2}\frac{(p-c)}{c^2}}\le \ 4p\sqrt{p} (\frac{\frac{p-a}{a^2}+\frac{p-b}{b^2}+\frac{p-c}{c^2}}{3})^{\frac{3}{2}}[/tex]. Равенство достигаме при [tex]\frac{p-a}{a^2}=\frac{p-a}{a^2}=\frac{p-a}{a^2}[/tex]<=>[tex]a=b=c[/tex]. Имаме:
[tex]sin{\alpha }+sin{\beta }+sin{\gamma }\le 4sqrt(\frac{3a}{2})^{3}.\sqrt{(\frac{1}{2a})^{3}}=\frac{3\sqrt{3} }{2}[/tex]

Става и с тригонометрия + [tex]AM\ge GM[/tex].