трудна задача

[anto]

Моля, помогнете ми за тази задача:
В ПОЛУОКРЪЖНОСТ С РАДИУС 8 СМ СА ВПИСАНИ ДВА КРЪГА, ДОПИРАЩИ СЕ ЕДИН ДО ДРУГ, ДО ПОЛУОКРЪЖНОСТТА И ДО НЕЙНИЯ ДИАМЕТЪР. Радиусите на двата кръга се отнасят като 9:2. Намерете радиусите.

[Гост]

jjerhreh.PNG (64.65 KiB) Прегледано 302 пъти

[tex]O_1G^{2}(=EF)=O_1O_2^{2}-O_2G^{2}=(r_1+r_2)^{2}-(r_2-r_1)^{2}=4r_1r_2[/tex]
[tex]EO^{2}=(8-r_1)^{2}-r_1^{2}=64-16r_1[/tex]
[tex]OF^{2}=(8-r_2)^{2}-r_2^{2}=64-16r_2[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{r_2}{r_1} = \frac{9}{2} \\ 2\sqrt{r_1r_2}=\sqrt{64-16r_1}+\sqrt{64-16r_2} \end{array}\Rightarrow r_1=4/9,r_2=2[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI

[Гост]

...но след проверка става ясно, че [tex](4/9;2)[/tex] не удовлетворява с-мата [tex]\Rightarrow F[/tex] не може да е "отдясно" на [tex]O[/tex]. Ако [tex]F\equiv O\Rightarrow r_2=4,r_1=8/9[/tex], което обаче не удовлетворява с-мата в този случай:
[tex]\begin{array}{|l} r_2=\frac{9}{2}r_1 \\ \sqrt{64-16r_1} = 2\sqrt{r_1r_2} \,(|OF|=0)\end{array}[/tex]
Ако [tex]F[/tex] е "отляво" на [tex]O[/tex], с-мата ще е:
[tex]\begin{array}{|l} r_2=\frac{9}{2}r_1 \\ 2\sqrt{r_1r_2}=\sqrt{64-16r_1}-\sqrt{64-16r_2} \end{array}[/tex] с решение [tex](4/9;2)[/tex]
Задачата има решение, само ако [tex]|EF|<|EO|[/tex]
...мноу "тънка" задачка

https://www.youtube.com/watch?v=5JbX5q08kJI