Стериометрия

[Nikola93]

Здравейте, трябва ми малко помощ с задачките:
1) Катетът AC=a на равнобедрен правоъгълен триъгълник ABC лежи в равнина L. Проекцията на катета BC върху L е (a(Koren ot 2))/2. Намерете ъгъла, който хипотенузата на триъгълника сключва с равнината L.

2)От върха D на квадрат ABCD е издигнат перпендикуляр DM към равнината му. Намерете разстоянията от точка M до диагонала AC и до страната AB, ако AB = a, DM = h.


Затруднявам се с чертежите ако някой може да ми ги направи... Благодаря предварително!!!

[Xixibg]

1)Нека [tex]B_1[/tex] е проекцията на [tex]B[/tex] върху [tex]L[/tex].
[tex]=>\angle BB_1C=90^\circ[/tex]
[tex]=>BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]=> BB_1=B_1C ; =>\triangle B_1BC[/tex] е равнобедрен правоъгълен
[tex]=>[/tex] търсеният ъгъл е :[tex]\angle BCB_1=45^\circ[/tex]

2)[tex]AC\cap BD=O[/tex]
[tex]AM=CM (\triangle ADM ,\triangle CDM[/tex] са еднакви [tex])[/tex]
[tex]=>DO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]=>MO=\sqrt{DO^2+DM^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+h^2}=\frac{\sqrt{2a^2+4h^2}}{2}[/tex] е търсеното разстояние от [tex]M[/tex] до [tex]AC[/tex]
Нека [tex]B_1[/tex] е симетрична на [tex]A[/tex] относно [tex]AD[/tex]
[tex]=>BM=B_1M ,(\triangle BDM ,\triangle B_1DM[/tex] са еднакви [tex])[/tex]
[tex]AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{a^2+h^2}[/tex] е търсеното разстояние от [tex]M[/tex] до [tex]AB[/tex]
(Това следва от теоремата за 3-те перпендикуляра)

[Nikola93]

Благодаря ти много! Имам още 2 задачки, ако не е проблем ... :Х

1) Основите на трапеца ABCD са AB = a, CD=b. Основата AB лежи в дадена равнина, а CD е на разстояние h от нея. Намерете разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до равнината. (реално погледното търсим от точката до АБ ... поне това установих но така и не можах да го определя... тая точка си нямам и идея какви свойства има ...)

2) Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основен ръб AB=a и височина AA1=h. Точката M е средата на ръба DD1. Равнината, определан от точкитеA,B,M пресича ръба CC1 в точка N. Намерете лицето S и периметъра P на четириъгълника ABNM.

Благодаря предварително отново

[Xixibg]

1.Нека лежи на равнината [tex]\alpha[/tex]
Нека [tex]O[/tex] е пресечната точка на диагоналите [tex]AC , BD[/tex] на трапеца [tex]ABCD[/tex].
Нека [tex]C_1, D_1 , O_1[/tex]са проекции на [tex]C,D,O[/tex]върху равнината [tex]\alpha[/tex].
Търсим разстоянието [tex]OO_1 \bot \alpha[/tex]
[tex]\triangle ABO ,\triangle CDO[/tex] са подобни [tex]=>\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b} ; =>AO=\frac{a}{b}.CO[/tex]
[tex]\triangle ACC_1 ,\triangle AOO_1[/tex] са подобни [tex]=>\frac{AO}{AC}=\frac{OO_1}{CC_1}; =>\frac{AO}{AO+CO}=\frac{OO_1}{CC_1}[/tex]
[tex]=>OO_1=\frac{AO.CC_1}{AO+CO}=\frac{\frac{a}{b}.CO.h}{(\frac{a}{b}+1).CO}=\frac{ah}{b}.\frac{b}{a+b}=\frac{ah}{a+b}[/tex]

[Xixibg]

[tex]N[/tex] е средата на [tex]CC_1[/tex]
[tex]AM=BN=\frac{\sqrt{4a^2+h^2}}{2}[/tex](От Питагорова теорема)
[tex]AB=MN=a[/tex]
[tex]P=2(a+\frac{\sqrt{4a^2+h^2}}{2})=2a+\sqrt{4a^2+h^2}[/tex]
[tex]S=\frac{a\sqrt{4a^2+h^2}}{2}[/tex]([tex]ABNM[/tex] е правоъгълник)

[Nikola93]

Благодаряя, а има ли начин да ми покажеш чертежите на тези фигури или ... ? не мога да разбера къде е тая точка N (смисъл равнината уж е еди си ква пък тая точка е от съвсем различно място) ..

[Xixibg]

[tex]N[/tex] е средата на [tex]CC_1[/tex]..............

А не знам софтуер за чертане ,а и ме мързи да сканирам.Иначе съм обяснил , къде е дадената точка

[Xixibg]

:P Благодаряя, а има ли начин да ми покажеш чертежите на тези фигури или ... ? не мога да разбера къде е тая точка N (смисъл равнината уж е еди си ква пък тая точка е от съвсем различно място) ..

То това е интересното на стереометрията.Да може да си представяш как ще изглеждат нещата....

[Nikola93]

Да, така си е... Малко съм скаран с това от 2Д да направя 3Д ... като се замисля тук би било много по добре ако след време както е почнало се вкара една компютърна система която да показва чертежа в 3Д ... но тогава пък математиците ще изгубят работата си защото няма да могат да си направят сами проекцията ... става доста сложно за нашата образователна система. Благодаря ти отново )

[L.e.o]

Здравейте, трябва ми малко помощ с задачките:

По СтерИометрия ?

[ptj]

Да, така си е... Малко съм скаран с това от 2Д да направя 3Д ... като се замисля тук би било много по добре ако след време както е почнало се вкара една компютърна система която да показва чертежа в 3Д ... но тогава пък математиците ще изгубят работата си защото няма да могат да си направят сами проекцията ... става доста сложно за нашата образователна система. Благодаря ти отново )

Явно с компютрите си още по-зле.
Именно Дескриптивната геометрия е в основата на Open GL (най-популярния стандарт за графично компютърно моделиране).

[Nikola93]

не си ме разбрал добре... искам да видя кой учител по математика ще ти работи едновременно с 2те неща, но не това е темата сега да обсъждаме Благодаря на Xixibg за помощта