четириъгълна пирамида

[dianayangel]

Дадена е четириъгълна пирамида АВСДМ с основа правоъгълник АВСД.Ръбът МД е перпендикулярен на основата .Докажете,че [tex]MA^2[/tex]+[tex]MC^2[/tex]=[tex]MD^2[/tex]+[tex]MB^2[/tex]

[Xixibg]

[tex]MA^2=AD^2+MD^2[/tex] (1)
[tex]MC^2=CD^2+MD^2[/tex] (2)
[tex]AD^2+CD^2=AC^2=BD^2[/tex] (3)
[tex]MB^2=MD^2+DB^2[/tex] (4)
[tex](1)+(2) =>MA^2+MC^2=AD^2+MD^2+CD^2+MD^2[/tex]
[tex](3)=>MA^2+MC^2=MD^2+BD^2+MD^2[/tex]
[tex](4) =>MA^2+MC^2=MD^2+MB^2[/tex]

[ptj]

Може и така:

От [tex]MD\bot (ABCD)[/tex] => ортогоналната проекция на [tex]MC[/tex] в равнината [tex]ABCD[/tex] e [tex]DC[/tex]. Тогава от теоремата за 3-те перпендикуляра и факта, че [tex]\angle DCB=90^\circ[/tex], следва че [tex]\angle MCB=90^\circ[/tex].

2 Питагорови теореми :
[tex]AM^2-DM^2=AD^2=BC^2=BM^2-CM^2[/tex] или

[tex]AM^2+CM^2=BM^2+DM^2[/tex]