12 клас - стереометрия (ЗП)

[Chaos]

Ще се радвам, ако някой може да ми реши следните задачи (12 клас, задължителна подготовка; стереометрия). Знам че са множко, но съм много слаб по математика. Трябват ми до четвъртък вечерта. Много ще съм благодарен, ако някой ги реши : ) :


1.Даден е триъгълник АBC. Равнината [tex]\alpha[/tex] пресича правите АB, BC и CA в точки P,Q,R. Докажете, че P,Q,R лежат на една права.

2. Основата ABCD на четириъгълната пирамида ABCDS е квадрат и SA=SB=SC=SD=AB. Намерете ъгъла между правите SD и BC.

4. Правите a и b от равнинава [tex]\alpha[/tex] пробождат равнината [tex]\beta[/tex] в точки А и B. Намерете пресечниците на равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex]

5. Дадена е триъгълна пирамида ABCO. Точките A',B' и C' лежат съответно върху ръбовете ОА,ОВ и ОС и са такива, че
[tex]\frac{OA'}{OA}[/tex] = [tex]\frac{OB'}{OB}[/tex] = [tex]\frac{OC'}{OC}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex]. Докажете, че равнините (ABC) и (A'B'C') са успоредни.

6. Върху ръбовете АВ и A1B1 на куба ABCDA1B1C1D1 са дадени точки Q и P такива, че AQ:QB=A1P:PB1=1:2. Докажете, че четириъгълникът QDD1P е правоъгълник, и намерете лицето му, ако дължината на ръба на куба е "a".

7. Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с ръбове AA1=1см AB=[tex]\sqrt{6}[/tex]см и AD=[tex]\sqrt{3}[/tex]см. Намерете ъглите между правите B1D1 и BC1.

ПП: Задача 3-та беше премахната, защото ми предоставиха решението.

[Consigliere-]

3. viewtopic.php?f=40&t=7748

[Chaos]

Благодаря ти за задачата : ) !

[Consigliere-]

2.
Търси се ъгъла м/у правите SD и BC.Но основата е квадрат и AD||BC.Тогава търсеният ъгъл е м/у SD и AD
[tex]\angle[/tex] SDA = ?
Ще го намерим лесно тъй като по условие SA=SB=SC=SD=AB => [tex]\Delta[/tex] SDA е равностранен => [tex]\angle[/tex] SDA = 60°

[Consigliere-]

7.За да намерим ъгъла м/у правите B1D1 и BC1 ще пренесем BC1.Виждаме ,че AD1||BC1 => ъгъла ,който трябва да търсим е [tex]\angle[/tex] AD1B1 . Свързваш си A с B1 и получаваме [tex]\Delta[/tex] AD1B1 ,на който ще намерим страните чрез Питагорова теорема.След което правиме косинусова теорема за да намерим и [tex]\angle[/tex] AD1B1.
Пит.теорема за [tex]\Delta[/tex] [tex]ADD1[/tex] или [tex]AA1D1[/tex] - няма значение кой ще вземеш
[tex]AD1^{2}[/tex] = [tex]\sqrt{3}^{2}[/tex] + [tex]\sqrt{1}^{2}[/tex]
[tex]AD1^{2}[/tex] = [tex]4[/tex] см , [tex]AD1[/tex] = [tex]2[/tex] см.
Сега Пит.теорема за [tex]\Delta[/tex] [tex]ABB1[/tex] за да намерим AB1
[tex]AB1^{2}[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]BB1^{2}[/tex]
[tex]AB1^{2}[/tex] = [tex]\sqrt{6}^{2}[/tex] + [tex]\sqrt{1}^{2}[/tex]
[tex]AB1^[/tex] = [tex]\sqrt{7}[/tex]
Сега остана да намерим и 3тата страна [tex]B1D1[/tex].Пак с Пит.теорема за [tex]\Delta[/tex] [tex]A1B1D1[/tex]
[tex]B1D1^{2}[/tex] = [tex]A1B1^{2}[/tex] + [tex]A1D1^{2}[/tex]
[tex]B1D1^{2}[/tex] = [tex]\sqrt{6}^{2}[/tex] + [tex]\sqrt{3}^{2}[/tex]
[tex]B1D1^{2}[/tex] = [tex]\sqrt{9}[/tex]
[tex]B1D1[/tex] = [tex]3[/tex]
Сега косинусова теорема за [tex]\Delta[/tex] [tex]AB1D1[/tex] за да намерим [tex]\angle[/tex] [tex]AD1B1[/tex]
[tex]AB1^{2}[/tex] = [tex]AD1^{2}[/tex] + [tex]B1D1^{2}[/tex] - [tex]2.AD1.B1D1.cos \angle AD1B1[/tex]
От което получаваш за [tex]cos\angle AD1B1[/tex] = [tex]\frac{1}{2 }[/tex]
Но [tex]cos60^\circ[/tex] = [tex]\frac{1}{2 }[/tex]
=> Търсеният [tex]\angle AD1B1[/tex] = [tex]60^\circ[/tex]