Интересни геометрични задачи

[chessman]

За да не правя постоянно нови теми, нека да публикуваме тук интересни задачки по геометрия. Аз имам една много добра!

Даден е правоъгълен триъгълник (C=90)P=60 см., а лицето S = 150 см². Да се намери c=?

[Xixibg]

[tex]\begin{tabular}{|l}a+b+c=60 ; =>a+b=60-c\\S=\frac{ab}{2}=150 ; =>ab=300\\a^2+b^2=c^2 ; =>(a+b)^2=c^2+2ab\end{tabular}[/tex]
[tex]=>(60-c)^2=c^2+600 ; =>120c=3000 ; =>c=25 ; =>a_1=20 , b_1=15 ; a_2=15,b_2=20[/tex]

[ganka simeonova]

2 начин)
[tex]S=pr=>r=5=>[/tex]

1)[tex]a+b-c=10[/tex]
2)[tex]a+b+c=60[/tex]

2)-1)=>[tex]2c=50=>c=25[/tex]

[chessman]

Даден е триъгълник ABC с лице 60 кв. см. Правата през C разделя страната AB на части, които се отнасят както 2:3. Да се намерят лицата на триъгълниците, на които се разделя даденият триъгълник от тази права.

[Гост]

Даден е триъгълник ABC с лице 60 кв. см. Правата през C разделя страната AB на части, които се отнасят както 2:3. Да се намерят лицата на триъгълниците, на които се разделя даденият триъгълник от тази права.

Задача за 5-6 клас е тази (от пропорции).СН е височина, CH=h.Пресечната точка на правата през С и на АВ е Р.

AP=2x
BP=3x

S (APC) = AP.CH/2=2x.h/2
S (BPC)= BP. CH/2=3x.h/2

S (APC) : S (BPC) = 2x.h/2 : 3x.h/2
S (APC) : S (BPC) = 2x.h/2 . 2/3x.h = 2/3

2a e S (APC)
3a e S (BPC)
2a +3a = 60
5a=60
a=12 кв.см.

S (APC)=2a = 2.12=24 cm^2
S (BPC)=3a=3.12=36 cm ^2

[Гост]

Ето една интересна и несложна задача. Дадени са два триъгълника [tex]A_{1}A_{2}A_{3}[/tex] и [tex]B_{1}B_{2}B_{3}[/tex] такива, че [tex]B_{i}B_{j}=\sqrt{A_{i}A_{j}}[/tex]. Да се докаже, че: [tex]2(cos (\angle B_{i}))^{2} \le cos ((\angle A_{i}))[/tex]