Задача за триъгълна призма

[bounty]

Здравейте, бих желал да получа чертеж и решение на следната задача:

Разстоянията между околните ръбове на триъгълна призма са 37 см, 15 см и 26 см, а околната й повърхнина е равнолицева с перпендикулярното сечение. Да се намери околният ръб на призмата.

Пробвах се да я реша сам, но не знам как точно да определя перпендикулярното сечение в призмата.

Решението ми трябва за понеделник /16.01.2012 г./. Благодаря предварително за отделеното време и внимание.

[Xixibg]

Чертеж не мога да ти направя:
Нека [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex] е дадената призма и [tex]AA_1=BB_1=CC_1=l[/tex] са околните ръбове.
Перпендикулярното сечение е [tex]\triangle MNQ , M\in AA_1 , N \in BB_1 , Q \in CC_1 ;MN\bot AA_1 ;MQ\bot Aa_1[/tex] със страни [tex]MN=37sm.,NQ=26sm., MQ=15sm.[/tex]
[tex]S_{MNQ}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{39.2.13.24}=156sm^2[/tex] (Херонова формула)
Околната повърхнина е:[tex]S_{ok}=S_{ABB_1A_1}+S_{ACC_1A_1}+S_{CBB_1C_1}=P_{MNQ}.l=(MN+MQ+NQ).l=37+26+15).l=78l[/tex]
[tex]=>78.l=156 ; =>l=156:78=2sm.[/tex]

П.П. Призмата по условие не е задължително да е права.Околните и ръбове може да сключват произволен ъгъл с равнината на основата(т.е. околните стени ще бъдат 2 успоредника и 1 правоъгълник).Търсеното перпендикулярно сечение е триъгълник чийто страни са перпендикулярни на околните ръбове.(Ако призмата е права то това ще е основата и т.е [tex]\triangle ABC[/tex])

[bounty]

Чертеж не мога да ти направя:
Нека [tex]ABCA_1B_1C_1[/tex] е дадената призма и [tex]AA_1=BB_1=CC_1=l[/tex] са околните ръбове.
Перпендикулярното сечение е [tex]\triangle MNQ , M\in AA_1 , N \in BB_1 , Q \in CC_1 ;MN\bot AA_1 ;MQ\bot Aa_1[/tex] със страни [tex]MN=37sm.,NQ=26sm., MQ=15sm.[/tex]
[tex]S_{MNQ}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{39.2.13.24}=156sm^2[/tex] (Херонова формула)
Околната повърхнина е:[tex]S_{ok}=S_{ABB_1A_1}+S_{ACC_1A_1}+S_{CBB_1C_1}=P_{MNQ}.l=(MN+MQ+NQ).l=37+26+15).l=78l[/tex]
[tex]=>78.l=156 ; =>l=156:78=2sm.[/tex]

П.П. Призмата по условие не е задължително да е права.Околните и ръбове може да сключват произволен ъгъл с равнината на основата(т.е. околните стени ще бъдат 2 успоредника и 1 правоъгълник).Търсеното перпендикулярно сечение е триъгълник чийто страни са перпендикулярни на околните ръбове.(Ако призмата е права то това ще е основата и т.е [tex]\triangle ABC[/tex])

Много ти благодаря. Можеш ли да решиш и следните две задачи, тъй като ми предстои класно и се опитвам да ги разбера тези за призмите:

1з. За основа на на призма служи квадрат, като един врх от горната основа е равноотдалечен от върховете на долната основа. Да се намери повърхнината на паралелепипеда, ако основният му ръб е a, а околният - b.

2з. За основа на наклонена призма ABCA1B1C1 служи служи равнобедрен триъгълник ABC, в който AB=AC=10 см, BC=12 см, върхът A1 e равноотдалечен от върховете A, B и C и AA1=13 см. Да се намери лицето на повърхнината й.

[Xixibg]

Нещо не съм прочел добре условието.

[ptj]

1з. За основа на на призма служи квадрат, като един врх от горната основа е равноотдалечен от върховете на долната основа. Да се намери повърхнината на паралелепипеда, ако основният му ръб е a, а околният - b.

2з. За основа на наклонена призма ABCA1B1C1 служи служи равнобедрен триъгълник ABC, в който AB=AC=10 см, BC=12 см, върхът A1 e равноотдалечен от върховете A, B и C и AA1=13 см. Да се намери лицето на повърхнината й.

1.)
-Лицата на двете основи са ти по [tex]a^2[/tex], защото са квадрати.
-Заради върха който е равноотдалечен от основата: околните стени ти се явяват успоредници със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и един диагонал [tex]b[/tex]. Казано по друг начин от два залепени един до друг равнобедрени триъгълника [tex](b;b;a)[/tex] с успоредни основи.
Тогава лицето на околната стена е [tex]2S_\Delta =a\sqrt{b^2-(\frac{a}{2 })^2 }=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2} }{2 }[/tex]

Пълната повърхнина на призмата (паралелипипеда) е:

[tex]S=2a^2+2a\sqrt{4b^2-a^2}[/tex]


2.) Аналогично на първата:
-основите с лице на триъгълник [tex]S_\Delta =\frac{1}{2 } 12\sqrt{10^2-6^2}=48[/tex]
-2 от околните стени аналогично на 1.) : [tex]S_1=10\sqrt{13^2-5^2}=120[/tex]
-третата околна стена е правоъгълник [tex]S_2=6.13=78[/tex]

Пълната повърхнина на призмата (паралелипипеда) е:

[tex]S=2.48+2.120+78=414[/tex]

[bounty]

1з. За основа на на призма служи квадрат, като един врх от горната основа е равноотдалечен от върховете на долната основа. Да се намери повърхнината на паралелепипеда, ако основният му ръб е a, а околният - b.

2з. За основа на наклонена призма ABCA1B1C1 служи равнобедрен триъгълник ABC, в който AB=AC=10 см, BC=12 см, върхът A1 e равноотдалечен от върховете A, B и C и AA1=13 см. Да се намери повърхнината й.

1.)
-Лицата на двете основи са ти по [tex]a^2[/tex], защото са квадрати.
-Заради върха който е равноотдалечен от основата: околните стени ти се явяват успоредници със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и един диагонал [tex]b[/tex]. Казано по друг начин от два залепени един до друг равнобедрени триъгълника [tex](b;b;a)[/tex] с успоредни основи.
Тогава лицето на околната стена е [tex]2S_\Delta =a\sqrt{b^2-(\frac{a}{2 })^2 }=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2} }{2 }[/tex]

Пълната повърхнина на призмата (паралелипипеда) е:

[tex]S=2a^2+2a\sqrt{4b^2-a^2}[/tex]


2.) Аналогично на първата:
-основите с лице на триъгълник [tex]S_\Delta =\frac{1}{2 } 12\sqrt{10^2-6^2}=48[/tex]
-2 от околните стени аналогично на 1.) : [tex]S_1=10\sqrt{13^2-5^2}=120[/tex]
-третата околна стена е правоъгълник [tex]S_2=6.13=78[/tex]

Пълната повърхнина на призмата (паралелипипеда) е:

[tex]S=2.48+2.120+78=414[/tex]

Специални благодарности на Xixibg и ptj. Много Ви благодаря за помощта!
На задача 2 отговорът обаче е 492.

В процеса на решаване излезе и още една задача:

Основата на паралелепипед е квадрат. Една от околните стени е ромб с диагонали 6 dm и 8 dm и е перпендикулярна на основата. Да се намерят обемът и лицето на повърхнината на паралелепипеда.

Как така само едната околна стена е перпендикулярна на основата - значи ли, че височината на ромба е височина и на призмат? Как да се обоснове и начертае това? В упътването пише, че другата околна стена трябва да е квадрат - защо? Какви ще са останалите две околни стени?

И един последен въпрос, който не е конкретно към задачата - правилна четириъгълна призма е фигура с основи квадрати и околни стени правоъгълници, нали така?

[ptj]

Да, лицето на 3-тата околна стена e [tex]S_2=12.13=156[/tex].
(доказателството за правоъгълник отново с теорема за 3-те перпендукуляра)

Тогава пълната повърхнина е [tex]S=2.48+2.120+156=492[/tex]

----------------------------------------------------------------------

Срещуположните околни страни са успоредни, тогава имаш 2 еднакви ромба.

Останалите двойки околни стени са квадрати, защото съответните околни ръбове лежат в равнинини перпендикулярни на основите. Прилагаш теоремата за 3-те перпендикуляра и доказваш, че ъглите в тях са прави.

И един последен въпрос, който не е конкретно към задачата - правилна четириъгълна призма е фигура с основи квадрати и околни стени правоъгълници, нали така?

Основите са правилни еднакви четириъгълници (квадрати), а околните страни успоредници.