12 клас - задачи стереометрия

[Jester]

Здравейте на всички, значи трябва да реша две задачи по геометрия, ако може да ми помогнете, аз си нямам на представа как се решават.

Зад 1.

При приетите, за конус са дадени:

r=2
h=4

Намерете S1

Зад 2.

Намерете обема и повърхнината на тяло, образувано при въртенето на равнобедрен триъгълник околко едното му бедро, ако основата на триъгълника е 30cm , а бедрото 25cm.

[ammornil]

Зад.2) Намерете обема и повърхнината на тяло, образувано при въртенето на равнобедрен триъгълник около едното му бедро, ако основата на триъгълника е 30cm , а бедрото 25cm.

Полученото тяло е два конуса с равни основи, като по-ниският конус е пъхнат в по-високия конус. Такива конуси бихме могли да наречем втъкнати, макар по-точно да е че по-ниският е вписан в по-високия. Долният, по-малък конус реално се явява дупка в по-големия горен конус.

Радиусът на основата на конусите е равен на височината, спусната към бедрото, около което е завъртян триъгълника. Околният ръб на по-високия конус е 30см, а на по-късия е 25 см.
Обемът на тялото е равен на разликата от обемите на конусите, а повърхнината е сборът от околните повърхнини на конусите.

И така по чертежа долу, даденият триъгълник е АВС, завъртян около бедрото ВС.Нека построим права през бедрото ВС- правата [tex]a[/tex]. Построяваме перпендикуляр от А към правата [tex]a[/tex]. Нека петата на този перпендикуляр е точка Q. Продължението на AQ пресича окръжността на основите на двата конуса в точка А'.

Да разгледаме ▲АВС, [tex]\angle ACB=180^\circ -2.\angle ABC[/tex], нека ъгъл АВС е α, тогава според синусова теорема: [tex]\frac{AB}{sin\angle ACB}=\frac{AC}{sin\angle ABC} \Longrightarrow \frac{AB}{sin(180^\circ -2. \alpha) }=\frac{AC}{sin\alpha } \Longrightarrow AB.sin\alpha=AC.sin(2.\alpha)[/tex]

[tex]30.sin\alpha-25.2.sin\alpha.cos\alpha=0 \Longrightarrow 5.sin\alpha.(6-10.cos\alpha)=0 \Longrightarrow[/tex]

(1)[tex]sin\alpha=0[/tex] не е възможно, защото ъгъл АВС не може да е нула градуса [tex]\cup[/tex] (2)[tex]cos\alpha=\frac{3}{5}[/tex], откъдето ъгъл α може да се определи, но за сега ни стига само да знаем стойностите на тригонометричните му функции.
[tex]sin\alpha=\sqrt{1-cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}[/tex]

[tex]BQ\bot AA'[/tex] по построение, [tex]\Rightarrow AQ=AB.sin\angle ABC=30.\frac{4}{5 } =24cm[/tex], което и радиус на основите на конусите. Тогава [tex]AA'=2.AQ=48cm[/tex]- диаметър.

[tex]\Delta AQC \rightarrow (CQ)^{2}=(AC)^{2}-(AQ)^{2} \Rightarrow (CQ)^{2}=625-576=49 \Rightarrow CQ=7cm[/tex]

[tex]\Longrightarrow BQ=BC+CQ=25+7=32cm[/tex]

Така за обемът ще получим:
[tex]V=\frac{1}{3 }.\pi .(AQ)^{2}.BQ-\frac{1}{3 }.\pi .(AQ)^{2}.CQ[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3 }.\pi .(AQ)^{2}.(BQ-CQ)=\frac{1}{3 }.\pi .(AQ)^{2}.BC[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3 }.\pi .24.24.25=4800.\pi[/tex] [tex]cm^{3}[/tex]

Повърхнината е:
[tex]S_{1}=\pi.CQ.AB+\pi.CQ.BC[/tex]

[tex]S_{1}=\pi.CQ.(AB+BC)=24.(30+25).\pi=24.55.\pi=1320.\pi[/tex] [tex]cm^{2}[/tex]

[ammornil]

зад1) При приетите, за конус са дадени:
r=2
h=4
Намерете S1

[tex]l^{2}=r^{2 }+h^{2 } \Longrightarrow l=sqrt{r^{2 }+h^{2 }}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4.5}=2.\sqrt{5}[/tex]

[tex]S_{1}=\pi.r.(l+r)=\pi.2.(2.\sqrt{5}+2)=4.(\sqrt{5}+1).\pi[/tex]

[Jester]

Благодаря много, тря те черпя ама си далечко Ако дойдеш в Кърджали драсни едно ЛС да те черпя биричка