k x^2 -( k^2 -4k-5)x+9=0 има два противоположни корена

[ApostolGandev]

За кои стоиности на параметъра k уравнението k x^2 -( k^2 -4k-5)x+9=0 има два реални и противоположни корена ?

[matdia]

първо- за да има два реални корена к[tex]\ne[/tex] 0
Второ за да са противоположни реални числа върха на параболата лежи на оста У, т.е. [tex]\frac{-b}{2a }[/tex]=0
Решаваме k^2 -4k-5=0 получаваме две решения к=-1 и к=5
Отчитаме , че за да са с различни знаци двата корена [tex]\frac{c}{a }[/tex]<0
[tex]\frac{9}{k }[/tex]<0
получаваме к<0
Така решението е к=-1

[kerry]

[tex]f(x)=kx^2-(k^2-4k-5)x+9[/tex]

Решението е

[tex]k.f(0)<0 \\ 9k<0 \\ k<0[/tex]

[0xdeadbeef]

За кои стоиности на параметъра [tex]k[/tex] уравнението [tex]k x^2 -( k^2 -4k-5)x+9=0[/tex] има два реални и противоположни корена ?
---

Друго решение е като отчетем, че ако [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са корени на уравнението и са противоположни числа, то

[tex]x^2_1= x^2_2 \Leftrightarrow x^2_1- x^2_2 = 0 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 0[/tex].

[tex]x_1 = x_2[/tex] - не е оферта, остава [tex]x_1 + x_2 = \frac{k^2 -4k-5}{k} = 0 \Leftrightarrow k^2 -4k-5 = 0 \Rightarrow k = -1;5[/tex].

При [tex]k = 5 \Rightarrow D < 0[/tex], накрая проверката за [tex]k = -1[/tex], показва, че тази стойност е решение.


Един друг начин, който не е много подходящ, ама все пак

Разглеждаме случая, когато [tex]D > 0[/tex]

[tex]k x^2 -( k^2 -4k-5)x+9=k(x-x_1)(x-x_2) = 0[/tex] [tex]\small(*)[/tex].

Корените на уравнение [tex]\small(*)[/tex], ще съвпадат с точките едновременно удовлетворяващи уравнението

[tex]\small(1)[/tex] [tex]y^2 = k(x-x_1)(x-x_2)[/tex] и лежащи на [tex]Ox[/tex].

Искаме [tex]x_2 = -x_1[/tex], уравнение [tex]\small(1)[/tex] добива вида

[tex]y^2 = k(x-x_1)(x+x_1) = k(x^2 - x^2_1) \Leftrightarrow -kx^2 + y^2 = -kx^2_1[/tex].

Сега при [tex]k=-1[/tex] имаме уравнение на централна окръжност с радиус [tex]x_1[/tex], която пресича абцисната ос в точките

[tex]M_1(-x_2,0) \equiv (x_1,0)[/tex] и [tex]M_2(x_2,0)[/tex].