Помощ по Стереометрия

[mjelqzkov93]

Здравейте,
Натъкнах се на много за-бавни задачи в моя учебник по математика,раздел Стереометрия.Ще се радвам ако можете да ми помогнете да ги реша ,а и разбира се ако може самото решение да съдържа и чертеж за да мога да се ориентирам максимално добре във вашето решение и да разбера задачата.
Значи едната задача е:
1)Основите на трапец ABCD са AB=a,CD=b.Основата AB лежи в дадена равнина,а CD е на разстояние h от нея.Намерете разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до равнините.
2)Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1B2C1D1.Докажете ,че всяка от височините на триъгълника ABC е успоредна на равнината (A1B1C1).
3)Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCM с основен ръб 10см.Точка A1 дели околния ръб AM в отношение 3:2.През точка A1 е прекарана равнина,успоредна на равнината (ABC).Тя пресича ръбовете BM и CM съответно в точките B1 и C1.Намерете лицето на триъгълник A1B1C1

П.С - Навсякъде където съм писал A1,B1 и т.н 1-цата е като долен индекс просто не знам как да го напиша.

Ще се радвам ако ми помогнете ако не с 3-те ,то поне само с някоя от всичките.Благодаря ви предварително.

[ammornil]

ЗАДАЧА1) Дадена е равнината α. ABCD- трапец.
[tex]AB||CD, AB\in \alpha, CD \notin \alpha[/tex].
Ако AB=a, CD=b и разстоянието от CD до р.α е "h", да се намери разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до равнината α.

РЕШЕНИЕ:
Предварителни построения: построяваме височините на трапеца, нека те пресичат голямата основа в точки [tex]C_{1}[/tex] и [tex]D_{1}[/tex].
Построяваме диагоналите AC и BD. Нека АС пресича BD в точка О.
Построяваме през точка О права успоредна на височината на трапеца, която пресича BC в точка M, а AВ в точка [tex]M_{1}[/tex].
Построяваме перпендикулярите от точки C, M и D към равнината α, получаваме съответно точки [tex]C_{2}, M_{2}, D_{2}[/tex], които лежат в α. По построение [tex]CM=C_{2}M_{2}, MD=M_{2}D_{2}, CM=C_{2}D_{2}=b[/tex]- като съответни отсечки и техните ортогонални проекции. Аналогично и [tex]CM=C_{1}M_{1}, MD=M_{1}D_{1}, CM=C_{1}D_{1}=b[/tex].
От горните следва: [tex]C_{1}M_{1}=C_{2}M_{2}, M_{1}D_{1}=M_{2}D_{2}, C_{1}D_{1}=C_{2}D_{2}=b[/tex]
Тъй като [tex]M_{1}M_{2}[/tex] е ортогонална проекция на [tex]MM_{1}[/tex], а точка О принадлежи на [tex]MM_{1}[/tex] по построение, следва че точката О ще се проектира ортогонално в равнината α в точка, която принадлежи на [tex]M_{1}M_{2}[/tex]. Нека проекцията на точка О е точка [tex]O_{2}[/tex]. [tex]OO_{2}[/tex] е търсеното разстояние.

Идеята е да се разгледа: [tex]\triangle MM_{1}M_{2}\sim\triangle OM_{1}O_{2} \Longrightarrow \frac{MM_{2}}{OO_{2}}=\frac{MM_{1}}{OM_{1}}[/tex]. Двата триъгълника са подобни защото имат по три равни ъгъла.
От пропорцията можем да изразим търсеното разстояние: [tex]OO_{2}=\frac{OM_{1}.MM_{2}}{MM_{1}}[/tex]

Проблемът е, че само по две основи не можем да пресметнем останалите елементи на трапеца. Моля да провериш дали не е даден друг елемент на трапеца, или ъгълът който равнината на трапеца сключва с дадената равнина...

[mjelqzkov93]

Не няма нищо друго дадено по задачата проверих

[ammornil]

А да не би трапецът да е равнобедрен?

[mjelqzkov93]

А да не би трапецът да е равнобедрен?

Не ,не е дадена такава информация.

[ammornil]

[tex]\triangle AOB \sim \triangle COD[/tex] по три ъгъла, защото:
[tex]\angle DCA= \angle BAC[/tex]-съответни ъгли при пресичането на успоредни прави с трета [tex](CA)[/tex]
[tex]\angle DOC= \angle BOC[/tex]-връхни
[tex]\angle CDA= \angle ABC[/tex]-съответни ъгли при пресичането на успоредни прави с трета [tex](BD)[/tex]

Следователно височините към основите им се отнасят както самите основи и тогава:
[tex]\frac{OM_{1}}{OM}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}[/tex], от където:

[tex]MM_{1}=OM+OM_{1}=OM_{1}.\left(1+\frac{b}{a}\right)[/tex]


Заместено в израза за [tex]OO_{2}[/tex] ще изглежда така:


[tex]OO_{2}=\frac{OM_{1}.MM_{2}}{MM_{1}}=\frac{ \cancel{OM_{1}}.h}{ \cancel{OM_{1}}\left(1+\frac{b}{a}\right)}[/tex]

[tex]OO_{2}=\frac{h}{\frac{a+b}{a}}=\frac{a.h}{a+b}[/tex]

[mjelqzkov93]

ММ да задачата не е толкова сложна просто чертежа ,който съм начертал не е правилен.Мерси много.А по останалите 2 задачи може ли малко помощ .

[ammornil]

Ето чертеж на трета задача. Два случая, според това дали точка [tex]A_{1}[/tex] дели отсечката АС в отношение 2:3 от основата към върха или обратно.
Решение малко по-късно днес, ако някой не ме изпревари.

[ammornil]

Задача 3) ABCM- правилна триъгълна пирамида (АВ=ВС=АС=10). [tex]A_{1} \in AC[/tex]. През [tex]A_{1}[/tex] е прекарана равнина успоредна на АВС и пресича другите два околни ръба в точки [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex]. Да се намери лицето на [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex].

Решение:
1сл.) [tex]\frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{2}{3} \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{A_{1}M}=\frac{5}{3}[/tex]

Понеже ABCM- правилна триъгълна пирамида, тогава (AM=BM=CM). [tex]\triangle ABM[/tex]- равнобедрен.
От това, че равнината на [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] е успоредна на равнината на основата на пирамидата, следва че:
[tex]AB||A_{1}B_{1}[/tex], [tex]AC||A_{1}C_{1}[/tex], [tex]BC||B_{1}C_{1}[/tex].

[tex]\triangle ABM \sim \triangle A_{1}B_{1}M[/tex], защото [tex]\left{\angle AMB- obsht \\ \angle MAB = \angle MA_{1}B_{1} \\ \angle MBA = \angle MB_{1}A_{1}[/tex]
Тогава [tex]\frac{A_{1}M}{AM}=\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{3}{5} \Rightarrow A_{1}B_{1}=\frac{3}{5}.10 \Rightarrow A_{1}B_{1}=6[/tex]

Аналогично се доказват дължините на [tex]A_{1}C_{1}=6[/tex] и [tex]B_{1}C_{1}=6[/tex]

[tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] е равностранен, следователно:

[tex]S_{_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{|A_{1}B_{1}|^{4}.\sqrt{3}}{4}=\frac{6^{2}.\sqrt{3}}{4}=9.sqrt{3}[/tex]



-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2сл.) [tex]\frac{AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{3}{2} \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{A_{1}M}=\frac{5}{2}[/tex]
...
Тогава [tex]\frac{A_{1}M}{AM}=\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{2}{5} \Rightarrow A_{1}B_{1}=\frac{2}{5}.10 \Rightarrow A_{1}B_{1}=4[/tex]
...
[tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] е равностранен, следователно:

[tex]S_{_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{|A_{1}B_{1}|^{2}.\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}.\sqrt{3}}{4}=4.sqrt{3}[/tex]

[Chaos]

Може ли да ми кажете какво ползвате за чертежите, да и да ми дадете линк към нещо като "упътване". На няколко пъти ми се налагало и обикновено ги чертая на лист, после си играя да сканирам и прикачвам и тн. Г-жа Ганка Симеонова също прави много хубави чертежи, не съм сигурен дали ползва същия "инструмент".

А ако знаете и програма, която да ги генерира автоматично още по-добре, но ме съмнява да е толкова лесно