Задача с параметър

[launcher]

Ако може да ми дадете решение и обяснение на следната задача:

Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които корените Х1и Х2 на уравнението Х^2 - a*x + a = 0 са реални и удовлетворяват неравенствата

X1 > (X1 - 4)/(1 - X2) > X2 > (X2 - 4) / (1 - X1).

[ammornil]

Решавам задачата направо в редактора, затова не гарантирам, че няма изчислителни грешки. Възможно е да има и по-кратък начин, но това което предлагам е генералния метод за решение на подобни задачи.


[tex]x^{2}-a.x+a=0,[/tex] [tex]a \in \Re[/tex]

a=? ако [tex]\begin{array}{|l} x_{_{1}}>\frac{x_{_{1}}-4}{1-x_{_{2}}} \\ \frac{x_{_{1}}-4}{1-x_{_{2}}}>x_{_{2}} \\ x_{_{2}}>\frac{x_{_{2}}-4}{1-x_{_{1}}} \end{array}[/tex]

[tex]x_{_{1,2}}=\frac{a \pm \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex]

За да бъдат корените на уравнението реални: [tex]a^{2}-4.a \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty;0] \cup [4;+\infty)[/tex]

От формули на Виет можем да изведем, че за даденото уравнение са в сила равенствата: [tex]\begin{array}{|l} x_{_{1}}+x_{_{2}}=a \\ x_{_{1}}.x_{_{2}}=a \end{array}[/tex]

За да съществуват допълнителните условия, всички знаменатели трябва да са различни от 0:
[tex]\begin{array}{|l}1-x_{_{1}} \ne 0 \\ 1-x_{_{2}} \ne 0 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} x_{_{1}}+x_{_{2}}=a \ne 2 \\ x_{_{1}}.x_{_{2}}=a \ne 1 \end{array}[/tex], което е изпълнено за всяко а, когато [tex]a \in (-\infty;0] \cup [4;+\infty)[/tex]

Обикновено се приема, че [tex]x_{_{1}}<x_{_{2}}[/tex], но в случая от даденото се вижда, че [tex]x_{_{1}}>x_{_{2}}[/tex] и понеже [tex]\sqrt{a^{2}-4.a} \ge 0 \Longrightarrow[/tex]
[tex]x_{_{1}}=\frac{a + \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex] и [tex]x_{_{2}}=\frac{a - \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex]

от където: [tex]x_{_{1}}-x_{_{2}}=\sqrt{a^{2}-4.a}[/tex],

и [tex]x_{_{1}}^{2}=\frac{(a + \sqrt{a^{2}-4.a})^{2}}{4}[/tex] и [tex]x_{_{2}}^{2}=\frac{a - \sqrt{a^{2}-4.a})^{2}}{4}[/tex]

[tex]x_{_{1}}^{2}=\frac{a^{2} + 2.a.\sqrt{a^{2}-4.a}+(a^{2}-4.a)}{4}[/tex] и [tex]x_{_{2}}^{2}=\frac{(a^{2} - 2.a.\sqrt{a^{2}-4.a}+(a^{2}-4.a)}{4}[/tex]

[tex]x_{_{1}}^{2}=\frac{2.a^{2}-4.a+2.a.\sqrt{a^{2}-4.a}}{4}[/tex] и [tex]x_{_{2}}^{2}=\frac{2.a^{2}-4.a-2.a.\sqrt{a^{2}-4.a}}{4}[/tex]

[tex]x_{_{1}}^{2}=\frac{a^{2}-2.a+a.\sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex] и [tex]x_{_{2}}^{2}=\frac{a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex]

[tex]1-x_{_{1}}=1-\frac{a + \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}=\frac{2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex]

[tex]1-x_{_{2}}=1-\frac{a - \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}=\frac{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}[/tex]

Да се върнем на системата от условия:
[tex]\begin{array}{|l} x_{_{1}}>\frac{x_{_{1}}-4}{1-x_{_{2}}} \\ \frac{x_{_{1}}-4}{1-x_{_{2}}}>x_{_{2}} \\ x_{_{2}}>\frac{x_{_{2}}-4}{1-x_{_{1}}} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \frac{x_{_{1}}-x_{_{1}}.x_{_{2}}-(x_{_{1}}-4)}{1-x_{_{2}}}>0 \\ \frac{x_{_{1}}-4-x_{_{2}}+x_{_{2}}^{2}}{1-x_{_{2}}}>0 \\ \frac{x_{_{2}}+x_{_{1}}.x_{_{2}}-(x_{_{2}}-4)}{1-x_{_{1}}}>0 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{4-x_{_{1}}.x_{_{2}}}{1-x_{_{2}}}>0 \\ \frac{x_{_{1}}-x_{_{2}}+x_{_{2}}^{2}-4}{1-x_{_{2}}}>0 \\ \frac{x_{_{1}}.x_{_{2}}+4}{1-x_{_{1}}}>0 \end{array}[/tex]

Да пресметнем на страна израза: [tex]x_{_{2}}^{2}-4=\frac{a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}}{2}-4=\frac{a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8}{2}[/tex] и да заместим в системата. Получаваме:

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} \frac{4-a}{\frac{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}}>0 \\ \frac{\sqrt{a^{2}-4.a}+\frac{a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8}{2}}{\frac{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}}>0 \\ \frac{a+4}{\frac{2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}}{2}}>0 \end{array}[/tex]

Нека разгледаме горната система по отделно, когато (1) [tex]a \in (-\infty;0][/tex] (2) [tex]a \in [4;+\infty)[/tex], получаваме обединение от две системи:

[tex]\begin{array}{|l} a \in (-\infty;0] \\ \frac{8-2a}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.a+8}{2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \end{array}[/tex] [tex]\cup \begin{array}{|l} a \in [4;+\infty) \\ \frac{8-2a}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.a+8}{2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \end{array}[/tex]
Числителите и знаменателите във всички неравенства трябва да имат ЕДНАКВИ ЗНАЦИ, за да са изпълнение неравенствата.

В първата система [tex]a[/tex] е отрицателно число: В неравенство едно понеже "а" е отрицателно по знак знаменателят е винаги положителен, следователно числителят трябва да е положителен. Същото важи и за второто неравенство. Остава да разгледаме само два варианта за последното неравенство. Тогава първата система се преобразува в нови две подсистеми в следния вид:

[tex]\begin{array}{|l} a \in (-\infty;0] \\ 8-2a>0 \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ 2.a+8<0 \\ 2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}<0 \end{array}[/tex] [tex]\cup \begin{array}{|l} a \in (-\infty;0] \\ 8-2a>0 \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ 2.a+8>0 \\ 2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}>0 \end{array}[/tex]

8-2.a>0 отпада от подсистемите защото е изпълнено в целия разглеждан интервал [tex]a \in (-\infty;0][/tex].

[tex]\begin{array}{|l} a \in (-\infty;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ a<-4 \\ 2-a<\sqrt{a^{2}-4.a} |(...)^{2}\end{array}[/tex] [tex]\cup \begin{array}{|l}a \in (-\infty;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ a>-4 \\ 2-a>\sqrt{a^{2}-4.a} |(...)^{2}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a \in (-\infty;-4) \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ 4-4.a+a^{2}<a^{2}-4.a \end{array}[/tex] [tex]\cup \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0 \\ 4-4.a+a^{2}>a^{2}-4.a\end{array}[/tex]

Първата подсистема е несъвместима, защото последното неравенство не е изпълнено за никое "а", затова остава само втората, където последното неравенство е изпълнено за всяко "а" и може да се пропусне.

[tex]\begin{array}{|l}a \in (-4;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-8>0\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}+(a+2).(a-4)>0\end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ (2-a).\sqrt{a^{2}-4.a}>(a+2).(a-4)\end{array}[/tex]
Забележете, че след делене на двете страни с (2-а) знакът на неравенството ще се запази, защото този израз е положителен в разглеждания интервал.
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ a^{2}-4.a> \frac{(a+2)^{2}.(a-4)^{2}}{(2-a)^{2}}\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ (a^{2}-4.a).(2-a)^{2}> (a+2)^{2}.(a-4)^{2}\end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}a \in (-4;0] \\ (a^{2}-4.a).(4-2.a+a^{^{2}})> (a^{^{2}}+4.a+4).(a^{^{2}}-8.a+16)\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l}a \in (-4;0] \\ 4.a^{^{2}}-2.a^{^{3}}+a^{^{4}}-16.a+8.a^{^{2}}-4.a^{^{3}}>a^{^{4}}-8.a^{^{3}}+16.a^{^{2}}+4.a^{^{3}}-32.a^{^{2}}+64.a+4.a^{^{2}}-32.a+64\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ -2.a^{^{3}}+24.a^{^{2}}-48.a-64>0\end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} a \in (-4;0] \\ a^{^{3}}-12.a^{^{2}}+24.a+32<0\end{array}[/tex]

функцията [tex]g(a)=a^{^{3}}-12.a^{^{2}}+24.a+32[/tex] е непрекъсната в R, има два локални екстрмума- максимум при [tex]a=6-2.\sqrt{7}[/tex] и минимум при [tex]a=6+2.\sqrt{7}[/tex]. Следователно за [tex]a \in (-\infty;6-2.\sqrt{7})[/tex] функцията е растяща (стреми се към локален максимум. Оттук следва, че в интервала [-4;0) най-голяма стойност изразът приема при а=0. Но там той е отрицателен, следователно неравенството [tex]a^{^{3}}-12.a^{^{2}}+24.a+32<0[/tex] е изпълнено за всяко "а" в интервала [-4;0).

Получихме едно решение на задачата [tex]a \in (-4;0][/tex]

Във втората система [tex]a[/tex] е по-голямо от 4:

[tex]\begin{array}{|l} a \in [4;+\infty) \\ \frac{8-2a}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8}{2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \\ \frac{2.a+8}{2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}}>0 \end{array}[/tex]

В неравенство едно числителят е винаги отрицателен, следователно знаменателят трябва да е отрицателен. В третото неравенство числителят е винаги положителен, следователно такъв трябва да е и знаменателят. Остава да разгледаме само два варианта за второто неравенство. Тогава първата система се преобразува в нови две подсистеми в следния вид:

[tex]\begin{array}{|l}a \in [4;+\infty) \\ 2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}<0 \\ 2.\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8>0 \\ 2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}>0 \\ 2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}>0\end{array}[/tex] [tex]\cup \begin{array}{|l}a \in [4;+\infty) \\ 2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}<0 \\ 2.\sqrt{a^{2}-4.a}+a^{2}-2.a-a.\sqrt{a^{2}-4.a}-8<0 \\ 2-a + \sqrt{a^{2}-4.a}<0 \\ 2-a - \sqrt{a^{2}-4.a}>0\end{array}[/tex]

Първата подсистема е несъвместима, защото първото неравенство и последните две нямат общи решения.
Втората подсистема е несъвместима, защото последните две неравенства е нея взаимно се изключват.

В крайна сметка имаме решение на задачата: [tex]a \in (-4;0][/tex]

[ganka simeonova]

ammornil , не се сърди, но това решение ме уплаши:) много дълго..
Аз ще предложа нещо по-скоро принципно, защото сега смятах набързо и не знам, доколко са ми верни сметките. Задачата обаче си е тегава..
Да съставим с помощта на обратната теорема на Виет у-е с корени
[tex]y_1=\frac{x_1-4}{ 1-x^2} ; y_2=\frac{x_2-4}{ 1-x_1}[/tex]Ако не съм оплескала сметките, то е
[tex]g(y)=y^2+(a^2-7a+8)y+16-3a[/tex] Означаваме също така [tex]f(x)=x^2-ax+a[/tex]
Искаме [tex]x_1>y_1>x_2>y_2[/tex]Като си начертаем разположението на параболите=> трябва да е изпълнено:
[tex]f(y_2)<0; f(y_1)>0; x_1+x_2<y_1+y_2=>f(y_1)f(y_2)<0; x_1+x_2<y_1+y_2[/tex]

[ammornil]

Хитро! Благодаря!

[ganka simeonova]

Направих промяна, защото забелязах, че не съм дописала като хората второто у-е:)