Задача с параметър. f(x) = x^2 -(a-1)x +2a=0

[evdjo]

Да се намерят стойностите на параметъра "а" за които уравнението f(x) = x^2 -(a-1)x +2a=0 има реални корени x1 и x2 които удовлетворяват условието x2^2=3x1 +1 .

Стигам до следната система
x2=a-1- x1
x1= 1/3 ((a-1)x2-2a-1)
x1x2=2a

Хелп плс

[ammornil]

[tex]f(x)=x^{^{2}}-(a-1).x+2.a[/tex]
[tex]a=?,: \hspace{12} x_{_{2}}^{^{2}}=3.x_{_{1}}+1, \hspace{6} (x_{_{1}}; x_{_{2}}) \in R[/tex]
---
[tex](x_{_{1}}; x_{_{2}}) \in R \Rightarrow D \ge 0 \Rightarrow [-(a-1)]^{^{2}}-4.2.a.1 \ge 0[/tex]
[tex]\hspace{105} a^{^{2}}-2.a+1-8.a \ge 0 \Rightarrow a^{^{2}}-10.a+1 \ge 0[/tex]
[tex]\hspace{105} 1.(a-5+\sqrt{6}).(a-5-\sqrt{6}) \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 5-\sqrt{6}] \cup [5+\sqrt{6}; +\infty)[/tex]

[tex]x_{_{1}}=\frac{a-1-\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2} \hspace{12} x_{_{2}}=\frac{a-1+\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}[/tex]

[tex]x_{_{2}}^{^{2}}=\frac{1}{4}.\left[ (a-1)^{^{2}}+2.(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}+a^{^{2}}-10.a+1 \right][/tex]

[tex]x_{_{2}}^{^{2}}=\frac{1}{4}.\left(a^{^{2}}-2.a+1+2.(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}+a^{^{2}}-10.a+1 \right)[/tex]

[tex]x_{_{2}}^{^{2}}=\frac{1}{4}.\left(2.a^{^{2}}-12.a+2+2.(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1} \right)[/tex]

[tex]x_{_{2}}^{^{2}}=\frac{a^{^{2}}-6.a+1+(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}[/tex]
---
[tex]x_{_{2}}^{^{2}}=3.x_{_{1}}+1 \hspace{12} \Rightarrow \frac{a^{^{2}}-6.a+1+(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}=3.\frac{a-1-\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}+1[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{a^{^{2}}-6.a+1}{2}-\frac{3.(a-1)}{2}-1=-\frac{3.\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}-\frac{(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow a^{^{2}}-6.a+1-3.(a-1)-2=-3.\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}-(a-1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}[/tex]

[tex]\Rightarrow a^{^{2}}-6.a+1-3.a+3-2=(-3-a+1).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}[/tex]

[tex]\Rightarrow a^{^{2}}-9.a+2=-(a+2).\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1} \hspace{12} \Rightarrow \frac{a^{^{2}}-9.a+2}{a+2}=-\sqrt{a^{^{2}}-10.a+1}[/tex]

След повдигане на двете страни на квадрат, отдясно минусът ще изчезне и няма да има модул за подкоренния израз, защото горе ние го дефинирахме като неотрицателен.

[tex]\Rightarrow \frac{(a^{^{2}}-9.a+2)^{^{2}}}{(a+2)^{^{2}}}=a^{^{2}}-10.a+1[/tex]

[tex]\Rightarrow a^{^{4}}+81.a^{^{2}}+4-2.a^{^{2}}.9.a-2.9.a.2+2.a^{^{2}}.2=(a^{^{2}}-4.a+4).(a^{^{2}}-10.a+1)[/tex]


[tex]\Rightarrow \cancel{a^{^{4}}} +81.a^{^{2}} \cancel{+4} -18.a^{^{3}} -36.a +4.a^{^{2}}= \cancel{a^{^{4}}} -10.a^{^{3}} +a^{^{2}} -4.a^{^{3}} +40.a^{^{2}} -4.a +4.a^{^{2}}-40.a \cancel{+4}[/tex]

[tex]\Rightarrow -18.a^{^{3}} +85.a^{^{2}} -36.a= -14.a^{^{3}} +45.a^{^{2}} -44.a[/tex]

[tex]\Rightarrow -14.a^{^{3}} +45.a^{^{2}} -44.a +18.a^{^{3}} -85.a^{^{2}} +36.a= 0[/tex]

[tex]\Rightarrow 4.a^{^{3}} -40.a^{^{2}} -8.a=0 \hspace{6}\hspace{12} \Rightarrow 4.a.(a^{^{2}} -10.a -2)=0[/tex]
[tex]\hspace{210}a_{_{1}}=0 \hspace{25} a^{^{2}} -10.a -2=0[/tex]
[tex]\hspace{280} D_{_{1}}=(-5)^{^{2}}-1.(-2)=25+2=27[/tex]
[tex]\hspace{280} a_{_{2,3}}=5 \pm 3.\sqrt{3}[/tex]

[tex]a_{_{1}}=0 \in DMa \hspace{12} a_{_{2}}=5 -3.\sqrt{3} \in DMa \hspace{12} a_{_{3}}=5 +3.\sqrt{3} \in DMa[/tex]

[evdjo]

Благодаря !