Помощ по логаритмични неравенства.

[mjelqzkov93]

Здравейте,
Много ми е спешно да ми помогнете за едни неравенства ,че ми дават "леко зор" .Задачите ,които ми трябват са на снимката и са 4.11, 4.12 и 4.13.Благодаря много предварително!

П.С - Има и отговорите към тях тъй ,че се надявам да ви помогнат.

[mjelqzkov93]

Възможно ли е да ми помогнете до понеделник

[mary_il_bg]

13,11

[mjelqzkov93]

Благодаря много!
Но като цяло 4.12 най-много ме затруднява.

[mary_il_bg]

Ами аз я реших по някакъв мой начин и не знам дали е правилен. Не искам да те обърквам. Получавам че x ≤1/2 и после като засека с ДМ-а ми се получава отговора, но по-добре някой друг да ти помогне.

[mjelqzkov93]

Ами аз я реших по някакъв мой начин и не знам дали е правилен. Не искам да те обърквам. Получавам че x ≤1/2 и после като засека с ДМ-а ми се получава отговора, но по-добре някой друг да ти помогне.

Какво съвпадение и аз получих същото .Затова се чудих дали не е сгрешен отговора. Все пак ще очаквам някой друг мерси иначе .

[ammornil]

[tex]log_{4}(5-3^{x}). log_{2}\left( \frac{5-3^{x}}{8} \right) \ge -1[/tex]

[tex]DM: 5-3^{x}>0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 3^{x}<5 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} x<log_{3}5 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} x \in (-\infty; log_{3}5)[/tex]

[tex]\frac{1}{2}.log_{2}(5-3^{x}). [log_{2}(5-3^{x})-3] \ge -1[/tex]

[tex]log_{2}(5-3^{x})=y \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 5-3^{x}= 2^{y} \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 3^{x}= 5 -2^{y} \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} x= log_{3}(5-2^{y})[/tex]

[tex]\frac{1}{2}.y. (y-3) \ge -1 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} y^{2}-3.y +2 \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 1.(y-1).(y-2) \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} y \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)[/tex]

[tex]log_{2}(5-3^{x}) \le 1 \hspace{12} \cup \hspace{12} log_{2}(5-3^{x}) \ge 2[/tex]

[tex]5-3^{x} \le 2 \hspace{12} \cup \hspace{12} 5-3^{x} \ge 4[/tex]

[tex]3^{x} \ge 3 \hspace{12} \cup \hspace{12} 3^{x} \le 1[/tex]

[tex]x \ge 1 \hspace{12} \cup \hspace{12} x \le 0[/tex]

Засичаме с ДМ и получаваме [tex]x \in (-\infty;0] \hspace{12} \cup \hspace{12} [1; log_{3}5)[/tex]

[ammornil]

[tex](0,8)^{log_{0,3}\left( \frac{2.x+1}{2.x-1} \right)} \le 1[/tex]

[tex]DM: \hspace{12} \left| \frac{2.x+1}{2.x-1}>0 |.(2.x-1)^{2} \\ 2.x-1 \ne 0 \right, \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} \left| 2.(x+\frac{1}{2}).2.(x-\frac{1}{2})>0 \\ 2.x \ne 1 \right, \hspace{12} \Rightarrow[/tex]

[tex]\left| 4.(x+\frac{1}{2}).(x-\frac{1}{2})>0 \\ x \ne \frac{1}{2} \right, \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \hspace{12} \cup \hspace{12} (\frac{1}{2}; +\infty)[/tex]

[tex]log_{0,3} \left(\frac{2.x+1}{2.x-1} \right) \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} log_{0,3} \left(\frac{2.x+1}{2.x-1} \right) \ge log_{0,3} 1 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} \frac{2.x+1}{2.x-1} \le 1 \hspace{12} \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{2.x+1}{2.x-1} -1 \le 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} \frac{\cancel{2.x}+1 \cancel{-2.x} +1}{2.x-1} \le 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} \frac{2}{2.x-1} \le 0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} 2.x-1 <0 \hspace{12} \Rightarrow \hspace{12} x < \frac{1}{2}[/tex]

Забележете! Понеже числителят е положителен, за да бъде дробта отрицателна трябва знаменателят да е отрицателен. В случая числителят никога не е равен на нула, а знаменателят не може да бъде равен на нула, затова в края на решението неравенството става строго неравенство. Знакът равно се пропуска.

След засичане на резултата с ДМ получаваме [tex]x \in (-\infty; -\frac{1}{2})[/tex]