Изчисляване на корен от число без калкулатор

[emil3993]

V2, V2....

[Anubis]

Ако разглеждаме нелинейното уравнение [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]x_{0}[/tex] е някакво първоначално приближение на корена му [tex]\xi \in [a; \, b][/tex], то всяко следващо приближение можем да пресметнем по итерационната формула на Нютон

[tex]x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}[/tex],

като при това скоростта на сходимост е квадратична. Това означава, че ако в началото грешката е от порядъка на [tex]h[/tex], то на следващата стъпка ще бъде [tex]h^2[/tex], след това [tex]h^4, \, h^8, \, h^{16}, \, \dots[/tex]. Няколко итерации практически са достатъчни за определяне на искания корен.

Как определяме началното приближение? Най-лесно става чрез графика, от нея веднага локализираме интервала, който съдържа корена, както и евентуалната приближена стойност на този корен.

Нека разглеждаме уравнението [tex]x^2-11=0[/tex]. От графиката на тази функция се вижда, че [tex]\sqrt{11} \in [3; \, 4][/tex]. След 5 итерации получаваме, че [tex]\sqrt{11} \approx 3.3166[/tex] с точност [tex]10^{-8}[/tex].

[emil3993]

Благодаря.