Задачка - закачка - плачка

[Гост]

Заради мегаломанията на един, форумът за "задача на седмицата" (колкото и рядко да се появяваше) трябва да седи заключен.
Колкото и да си добър, както и да се представяш - трябва да знаеш, че си като една река - коритото ти се е запазило (в реално, човешко време), но един път си пълноводна, един път - с плитчини. Затова бъди по-скромен. Голяма работа, че имаш над 2000 поста. Голяма работа, че няма да пишеш повече. Голяма работа, че се сърдиш. Ако разваляш работата на другите - вече не си "Голяма работа".
Колеги, по-смирено, с повече уважение към останалите!

[monika_at]

Форумът не е заключен, а само темата.

[drago]

Форумът не е заключен, а само темата.

Говорим за този пост: viewtopic.php?f=49&t=20060

A защо, Ганке, е заключена темата? Някой би могъл да даде и малко по-различно решение на задачата, не губим ли всички от това? Защо реши, че трябва да я заключваш? Да беше се консултирала с админа- той, като човек с бизнес насоченост би те светнал, че няма сметка да се секва някаква дискусия, защото и без това в този раздел, пък и в другите, интересните задачи са кът. И няма ли активност не текат рекламите- за хемороиди и прочие Та така, Ганке, мисли бизнес ориентирано.

@xixi: Не виждам защо, като пускаш интересна задача трябва да я пъхнеш в "задача на седмицата". Ами тази на Тонов си е олимпиадна- сложи я в "състезания 9-12 клас"- точно там и е мястото.
Между другото аз не съм поствал в "задача на седмицата"(давал съм решения, но не съм инициирал тема), защото това звучи ми звучи доста претенциозно, може би там е наистина подходящо да се постват авторски задачи- за другите давани по състезания си има други хубави раздели.

[emil3993]

Заради мегаломанията на един, форумът за "задача на седмицата" (колкото и рядко да се появяваше) трябва да седи заключен.
Колкото и да си добър, както и да се представяш - трябва да знаеш, че си като една река - коритото ти се е запазило (в реално, човешко време), но един път си пълноводна, един път - с плитчини. Затова бъди по-скромен. Голяма работа, че имаш над 2000 поста. Голяма работа, че няма да пишеш повече. Голяма работа, че се сърдиш. Ако разваляш работата на другите - вече не си "Голяма работа".
Колеги, по-смирено, с повече уважение към останалите!

Това е първата заключена тема в раздела. Честито!

[Гост]

Форумът Ви е ядосан xixibgр, monika_at форумът ви е ядосан, дължите извинение на всички и специално на emil3993 за Вашата шуробаджанащина! НЕКА monika_at правата ти на администратор не те правят повече от човек. Всички сме ХОРА!

[pal702004]

Форумът Ви е ядосан xixibgр, monika_at форумът ви е ядосан

Говори от свое име. Аз наистина постепенно започвам да се ядосвам, но не на тях. И да - правилно е затворена темата, защото е изчерпана откъм математическо съдържание. И тази също.
За което всеки един модератор трябва да следи. И за офтопик, и за спам... (с който е залят напоследък форума под формата на дебилни задачи).

[monika_at]

Форумът Ви е ядосан xixibgр, monika_at форумът ви е ядосан, дължите извинение на всички и специално на emil3993 за Вашата шуробаджанащина! НЕКА monika_at правата ти на администратор не те правят повече от човек. Всички сме ХОРА!

Ти ли "гост" ще ми обясняваш, че форумът ми е ядосан? Кой си ти? ГОСТ, никому незнаен...Всеки може да и пише от името на ГОСТ!. Пал е дал много добро обяснение и точно по тази причина заключих темата! Защото стана спам!

[drago]

...И да - правилно е затворена темата, защото е изчерпана откъм математическо съдържание. ..

...и точно по тази причина заключих темата! Защото стана спам!

Не мисля, че темата е изчерпана от математическо съдържание. Да припомня пак задачата: viewtopic.php?f=49&t=20060

Идеята няма как да е по-различна от тази на Пал - ако сборът от дробните части на събираемите е по-малка от $0.9$, значи цифрата след дес. точка ще е по-малка от $9$. Реализацията, обаче може да е по-директна и да избегне индукцията.
Значи трябва да оценим тези дробните части, всяка от които е: $\sqrt{(k(k+1))^2 +2}-k(k+1)\,,\,k=1,2,\dots,9$. Най-простия начин е да рационализираме. Имаме:
\begin{align*}\sqrt{(k(k+1))^2 +2}-k(k+1)&=\frac{2}{\sqrt{(k(k+1))^2 +2}+k(k+1)}<
\\ &<\frac{2}{2\cdot k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}
\end{align*}
Сега като сумираме, получаваме:
\[\sum_{k=1}^9 \sqrt{(k(k+1))^2 +2}-k(k+1)<\sum_{k=1}^9(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-1/10=0.9\]

[pal702004]

drago, точно тази идея - без индукция с оценка на дробните части съм написал във вторият си пост във темата. А като написах, че темата се изчерпа откъм мат. съдържание, имах предвид поведението на потребителите, а не че няма какво повече да се каже.

[drago]

drago, точно тази идея - без индукция с оценка на дробните части съм написал във вторият си пост във темата...

O,...не съм обърнал внимание, съжалявам.

[xixibg]

Искам да обобщя идеята на "pal702004" и начина описан от "drago" , което е и допустимото решение без индукция въпреки че индукцията се учи в профилирана подготовка в 8 клас.Като описвам подробно защо точно това са дробните части, който трябва да изследваме, което те не са обяснили в решението.
Нека [tex]a,b>0[/tex] и [tex]a>b[/tex].Тогава е вярно неравенството:[tex]a>\sqrt{a^2-b^2}>a-b[/tex]
Доказателство:
Разглеждаме лявата част на неравенството и повдигаме на квадрат:
[tex]\Rightarrow a^2>a^2-b^2 \Rightarrow b^2>0[/tex] , което е вярно за всяко положително число [tex]b[/tex]
Разглеждаме дясната част на неравенството и повдигаме на квадрат:
[tex]\Rightarrow a^2-b^2>(a-b)^2 \Rightarrow a^2-b^2>a^2-2ab+b^2 \Rightarrow 2ab-2b^2>0 \Rightarrow 2b(a-b)>0[/tex] , което е вярно за [tex]a,b>0[/tex],[tex]a>b[/tex]
с което неравенството: [tex]a>\sqrt{a^2-b^2}>a-b[/tex] е доказано
Нека е дадено: [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}[/tex].Ще докажем ,че [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{k+1}<1[/tex]
Доказателство:
Разглеждаме едночлена:[tex]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1+k-k}{k(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=1-\cancel{\frac{1}{2}}+\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}+.....+\cancel{\frac{1}{k}}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}<1[/tex]

Сега към задачата:Нека [tex]A=\sum_{k=1}^{9 }\sqrt{k^2(k+1)^2+2}=\sum_{k=1}^{9}\sqrt{k^2(k+1)^2+2\frac{k(k+1)}{k(k+1)}+\frac{1}{k^2(k+1)^2}-\frac{1}{k^2(k+1)^2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=\sum_{k=1}^{9 }\sqrt{(k(k+1)+\frac{1}{k(k+1)}) ^2-(\frac{1}{k(k+1)})^2}[/tex]
И от доказанато горе неравенство:[tex]\sum_{k=1}^{9 }k(k+1)+\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)} >A>\sum_{k=1}^{9 }k(k+1)[/tex]
Тъй като [tex]\sum_{k=1}^{9 }k(k+1)[/tex] е цяло число по-малко от [tex]A[/tex] , а [tex]\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)}<1[/tex], то дробната част на [tex]A[/tex] е по-малка от [tex]\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{10}=0,9[/tex]

П.П.
Първо да похвалим @pal702004 и @drago , за хубавите идеи и решения на задачата
@ drago , Темата я заключиха защото вместо да я пълните с "математическо съдържание" я напълнихте със спам в това число и ти.Ако аз бях модератор щях направо да я изтрия.
А към гост

Форумът Ви е ядосан xixibg, monika_at форумът ви е ядосан, дължите извинение на всички и специално на emil3993 за Вашата шуробаджанащина! НЕКА monika_at правата ти на администратор не те правят повече от човек. Всички сме ХОРА!

Хич не ми пука кой ми е ядосан.А относно извиненията незнам, кой на кого дължи извинения.

Не си купувай учебници, купи си справочник, койте ще може да ползваш при кандидатстване. И отивай във всички книжарници до университетите УНСС, ТУ, СУ и казваш искам книжка със задачи с (примерни) решения и започваш да правиш това, което ИТ хората наричат Reverse engineering. Ако не можеш да разбереш нещо, отиваш на частен учител, но гледай да е възрастен. Прилагаш знанието от примерните решения като решаваш тестове само от съответния ВУЗ, за да разбереш формата!!! Запомни изпита не е свързан с познанието на теорията, а с практика. (НЕ учи теория) Това не е учене на математика, а явяване на конкурс.

Този @emil3993 или някой сериозно го е заблудил ,какво представлява математиката и как трябва човек да се подготвя за да се справя с тази наука, или е някой луд който се забавлява губейки времето на хората да му решават упражнителните задачи на ниво учебник.

[emil3993]

Когато прецените може да изтриете този пост както и цялата публикувана от мен тема.Приятна вечер на всички .

Теб те е заблудил някой, че имаш гъвкави умения. Това е детинско поведение. Явяването на конкурс има нещо общо със знание на математика, но се изисква скорост и роботизиране. От училище не излизат хора, а роботи преди всичко. Хубаво е, че училищната система пропада, защото не виждам приложението и. Не живеем в индустриален век, а в информационна ера. Компаниите търсят хора не с ум, а и със сърце. Във развитите страни отдавна е пропаднал или никога е нямало конкурсен изпит. Ако мислиш, че говоря лъжи, си направи справка.

[xixibg]

Теб те е заблудил някой, че имаш гъвкави умения. Това е детинско поведение. Явяването на конкурс има нещо общо със знание на математика, но се изисква скорост и роботизиране. От училище не излизат хора, а роботи преди всичко. Хубаво е, че училищната система пропада, защото не виждам приложението и. Не живеем в индустриален век, а в информационна ера. Компаниите търсят хора не с ум, а и със сърце. Във развитите страни отдавна е пропаднал или никога е нямало конкурсен изпит. Ако мислиш, че говоря лъжи, си направи справка.

Пич , ти просто не можеш да осъзнаеш колко си тъп.Постовете ти започват да стават вредни.Математиката не е спорт, а е наука и не изисква никаква скорост, а изисква знания и умения.Места във ВУЗ в България има 2 пъти повече от кандидати да учат.Дали ще го има или не кандидатстудентския изпит няма значение.Със или без конкурс по никакъв начин няма да се промени необходимостта от знания по математика.Във всеки ВУЗ с техническа , икономическа или математическа насоченост се изучава математика на доста по-сериозно ниво от училищната.Това важи и за университетите в развитите страни.А по въпроса за компаниите ,те търсят точно хора с ум и капацитет за развитие , а не малоумници с големи сърца.Приложението на училищната система е да образоват поне малко неграмотници като теб.Да им отвори очите.Целта на конкурсите и матурите е , да покажат на такива като теб нивото им на неграмотност и да ги насочат към ограмотяване.Написаното от теб е пълно със стилистични и граматически грешки.

.......... Компаниите търсят хора не с ум, а и със сърце. Във развитите страни отдавна е пропаднал или никога е нямало конкурсен изпит. Ако мислиш, че говоря лъжи, си направи справка.

Няма да ти казвам къде са.Ще те оставя да си ги откриеш сам.А ако не можеш си наеми някой частен учител ,но гледай да е възрастен (нали така съветваш в постовете си ).Само гледай да не попаднеш на мен или на някой от колегите във форума , че взимаме скъпо.