Задача от 19-ти век

[Гост]

(1898г.) Докажете следната теорема: Ако два триъгълника имат общ ъгъл, то сумата на синусите от ъглите ще бъде по-голяма в онзи триъгълник, в който разликата на останалите два ъгъла е по-малка. Въз основа на тази теорема да се определи видът на триъгълника, за който сумата на синусите от ъглите му е максимална.

[Genie_Almo]

Ако трябва да преведем на "съвременен" матматически език:

Нека [tex]\gamma[/tex] е параметър и $\gamma \in (0 , \pi)$. Търси се максимумът на функцията:

$ f(\alpha) = \sin\alpha + \sin(\pi-\gamma-\alpha)$ ,
за $\alpha \in (0 , \pi-\gamma)$

Чест подход при този род проблеми е да се въведе някакво малко положително число $\epsilon$ и да се провери дали расте или намалява функцията ако $ \alpha_{\epsilon } := \alpha + \epsilon $ , т.е. да се сравнят стойностите на функцията за $f(\alpha)$ и $f(\alpha_{\epsilon })$

За съжаление, в момента нямам възможност да развия идеята, затова ще се радвам някой да даде решение на тази интересна задача, следвайки този или друг подход.

[pal702004]

Да, ако сбора на другите два ъгъла е $2\alpha$ трябва да се максимизира $\sin(\alpha+x)+sin(\alpha-x)=2\sin(\alpha)cos(x)$

Естествено, максимума е при $\cos(x)=1$

[Гост]

равностранен

[Гост]

[tex]\min|\beta-\gamma|=0\Rightarrow \beta=\gamma[/tex]
[tex]f:=\sin\alpha+2\sin\beta, \alpha+2\beta=\pi\Rightarrow \alpha=\pi-2\beta\Rightarrow f=\sin2\beta+2\sin\beta=2\sin\beta(\cos\beta+1)[/tex]
[tex]f'=2\cos\beta(\cos\beta+1)+2\sin\beta(-\sin\beta)=2\cos^{2}\beta+2\cos\beta-2\sin^{2}\beta=4\cos^{2}\beta+2\cos\beta-2[/tex]
[tex]f'=0\Rightarrow 4\cos^{2}\beta+2\cos\beta-2=0\Rightarrow \cos\beta=1/2\Rightarrow \beta=\pi/3\Rightarrow \alpha=\pi/3[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=XUqT9lL5vac