Детермината (сложна на пръв поглед задача)

[KOPMOPAH]

Числата $510807$, $448218$, $ 831828$, $426009$, $668289$ и $224109$ се делят на $2019$ (лесно се проверява)

Без да се смята (което си е жив мазохизъм ) да се докаже, че детерминантата:
$$
\begin{vmatrix}
5&1&0&8&0&7\\
4&4&8&2&1&8\\
8&3&1&8&2&8\\
4&2&6&0&0&9\\
6&6&8&2&8&9\\
2&2&4&1&0&9

\end{vmatrix}
$$се дели на $2019$.

[Гост]

[quote="KOPMOPAH"]Числата $510807$, $448218$, $ 831828$, $426009$, $668289$ и $224109$ се делят на $2019$ (лесно се проверява)


$$
100000\cdot\det A=\begin{vmatrix}
500000&1&0&8&0&7\\
400000&4&8&2&1&8\\
800000&3&1&8&2&8\\
400000&2&6&0&0&9\\
600000&6&8&2&8&9\\
200000&2&4&1&0&9

\end{vmatrix}\stackrel{(C_1=C_1+10000C_2+1000C_3+100C_4+10C_5+C_6)}{=}\begin{vmatrix}
510807&1&0&8&0&7\\
448218&4&8&2&1&8\\
831828&3&1&8&2&8\\
426009&2&6&0&0&9\\
668289&6&8&2&8&9\\
224109&2&4&1&0&9

\end{vmatrix}$$

[S.B.]

Числата $510807$, $448218$, $ 831828$, $426009$, $668289$ и $224109$ се делят на $2019$ (лесно се проверява)

Без да се смята (което си е жив мазохизъм ) да се докаже, че детерминантата:
$$
\begin{vmatrix}
5&1&0&8&0&7\\
4&4&8&2&1&8\\
8&3&1&8&2&8\\
4&2&6&0&0&9\\
6&6&8&2&8&9\\
2&2&4&1&0&9

\end{vmatrix}
$$се дели на $2019$.

Още един начин:
Според свойствата на детерминантите:
1) Ако елементите на ред или стълб умножим с едно и също число,то детерминантата не се променя:
Умножавам съответните стълбове (от 1 до 6) съответно с числата:
[tex]10^{5} ,10^{4},10^{3},10^{2}, 10^{1}, 10^{0}[/tex]

2)Ако към елементите на един от стълбовете се прибавят съответно елементите на останалите стълбове, то детерминантата не се променя:

Към елементите на първия стълб прибавям получените след умножението елементи на останалите стълбове и за първи стълб получавам:

$5.10^{5} + 1.10^{4} + 0.10^{3} + 8.10^{2} + 0.10^{1} + 7.10^{0} = 510807 = 2019.253$
$4.10^{5} + 4.10^{4} + 8.10^{3} + 2.10^{2} + 1.10^{1} + 8.10^{0} = 448218 = 2019.222$
$8.10^{5} + 3.10^{4} + 1.10^{3} + 8.10^{2} + 2.10^{1} + 8.10^{0} = 831828 = 2019.412$
$4.10^{5} + 2.10^{4} + 6.10^{3} + 0.10^{2} + 0.10^{1} + 9.10^{0} = 426009 = 2019.211$
$6.10^{5} + 6.10^{4} + 8.10^{3} + 2.10^{2} + 8.10^{1} + 9.10^{0} = 668289 = 2019.331$
$2.10^{5} + 2.10^{4} + 4.10^{3} + 1.10^{2} + 0.10^{1} + 9.10^{0} = 224109 = 2019.111$

3)Ако всеки от елементите на даден стълб е кратен на едно и също число,то и детерминантата е кратна на това число:
$ \Rightarrow \triangle = 2019.\triangle_{1 }$