Задача по математика 11 клас профилирина подготовка

[Гост]

Ортоцентърът H на остроъгълния триъгълник ABC дели височината му BD в отношение 3:1, а точка K е среда на BD. Докажете, че ъгъл AKC = 90 градуса.

[Евва]

BH:DH=3:1 , значи BH=3x ,DH=x [tex]\Rightarrow[/tex] BD=4x [tex]\Rightarrow[/tex] BK=DK =2x
Нека AD=m ,CD=n и [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\alpha[/tex] .
[tex]\angle[/tex]DHC и [tex]\angle[/tex]CAB са остри ъгли с взаимноперпендикулярни рамене [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DHC=[tex]\alpha[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ABD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DHC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BD}{CD} =\frac{AD}{HD}[/tex] т.е. [tex]\frac{4x}{n}[/tex]=[tex]\frac{m}{x}[/tex]
m.n=4[tex]x^{2 }[/tex]
m.n=[tex](2x)^{2 }[/tex] (1)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АКС с височина KD .
(1) означава ,че AD.CD=[tex]KD^{2 }[/tex]
Това е равносилно с формулата [tex]a_{1 }[/tex].[tex]b_{1 }[/tex]=[tex]h_{c } ^{2 }[/tex] , a щом тя е в сила [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АКС е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]АКС =90[tex]^\circ[/tex] .