Дискусия

[nikola.topalov]

Здравейте, съфорумници!
Бих желал да споделя моята гледна точка относно това, което се преподава в училище и задачите, които се решават. Вече за трета година асистент по красивата наука “Геометрия” във факултета по математика и информатика към СУ, аз забелязвам изключително грешни формулировки. Ще дам няколко примера:

1) “Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2+3x-1[/tex].”
Изключително неправилен запис. Функцията е [tex]f[/tex] и се дефинира така: [tex]f:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto x^2+3x-1[/tex].

2) “Дефиницията за вектор е насочена отсечка.”
Пълни глупости. Свободният геометричен вектор, който се използва в ПП, никаква насочена отсечка не е. Дефиницията изисква малко познания по дискретна математика. За любопитните, релацията на
еквивалентност “равенство на насочени отсечки” (лесно се проверява, че е такава) разбива множеството от всички насочени отсечки на непресичащи се класове на еквивалентност. Ако [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] са множествата от всички насочени отсечки, съответно равни на [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] и [tex]\overrightarrow{CD}[/tex], то [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] или нямат нито един общ елемент, или съвпадат. Втората възможност е налице, точно когато [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex]. Тук идва и дефиницията за свободен вектор: Всеки клас [tex]\vec{a}[/tex] от равни насочени отсечки се нарича свободен вектор. Всеки елемент на [tex]\vec{a}[/tex] се нарича представител на [tex]\vec{a}[/tex]. Ако [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] е представител на [tex]\vec{a}[/tex], то вместо [tex]\overrightarrow{AB}\in\vec{a}[/tex] пишем [tex]\overrightarrow{AB}=\vec{a}[/tex]. Виждате, че това е далеч от просто “насочена отсечка”.

3) “Медицентърът на триъгълник се дефинира като пресечната точка на трите медиани в триъгълник.”
Поредната глупост. Доказва се, че трите медиани се пресичат в медицентъра на триъгълник. Защо? Защото медицентърът има различна дефиниция. Медицентърът на система от точки [tex]\{A_i\}_{i=1}^n[/tex] е онази точка [tex]G[/tex], за която [tex]\sum\limits_{i=1}^n\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}[/tex].

Да не говорим за това как се дефинират координати на точка и вектор спрямо дадена координатна система…

Та стигам до въпроса… Защо се преподават неща, които е ясно, че няма как да се обяснят с помощта на училищен материал? Защо се дават грешни дефиниции? Защо се изучават вектори в осми клас, като това е тема за по-нататък? Учителите наясно ли са, че операцията “сбор на вектори” не е стандартния “+”, който използваме за сбор на числа, а се дефинира по друг начин? Разбирам, че трябва да бъде преподаден материал, но нека не е по грешен начин, само за да е по-лесно на учениците… Ако не е възможно, то материалът не трябва да бъде преподаден изобщо.

И преди някой да е казал “В осми клас как очакваш да знаят тази дефиниция?”… Не очаквам, защото темата няма работа там.

[ammornil]

ОК. Да поговорим. Усещам страст и гняв, което е и добре, и не толкова. Аз ще си дам мненията отзад напред по Вашия лист. Аз не съм математик, но съм прекарал голяма част от живота си учейки и работейки математика.

На обобщаващите въпроси:

Защо се дават грешни дефиниции?
Не мисля, че се дават грешни дефиниции. Може би частни случаи се разглеждат като самостоятелни обекти или събития...

Защо се преподават неща, които е ясно, че няма как да се обяснят с помощта на училищен материал?
Учителите, особено тези които са математици, са наясно че означенията които се показват не са канонични, така да се каже, но образователната система е изградена на принципа на "от простото към сложното", затова някои концепции са умишлено "опростени" за въвеждането им и по-късно биват пояснени и допълнени (корегирани) до пълната им (и по-коректна) форма. Например, Питагорова теорема е частен случай на Косинусова, но се изучава и използва самостоятелно. Никой не казва, Косинусова теорема за правия ъгъл, дори след като е научил Косинусова теорема.

3) Медицентрът на тръгълник е пресечната точка на медианите му. Твърдението е вярно и не противоречи на вашето, защото центърът на тежестта на три точки нележащи на една права е точно пресечната точка на медианите на триъгълника, образуван от трите точки. Става въпрос за частен случай на център на тежестта. Това, което Вие описвате с векторната сума нула не е медицентър, то е център на тежестта на равнина фигура или пространствено тяло, за което всички върхове имат равни маси. За триъгълника център на тежестта е медицентърът.

2) Аз съм съгласен, че вектори нямат място в осми клас, особено преди да е взета тригонометрията. Но, ще Ви кажа, че аз учих вектори по Основи на електротехниката в 8 клас в техникума, за да мога да решавам фазови диаграми за променливи величини. Пак там, за първи път учих тригонометрия. Надявам се инженер Колева да е още жива и здрава, вероятно пенсионер сега, но тя трябваше да ни обясни математиката за да разберем физиката на нещата. Допускам, че за техническите училища има смисъл вектори да се показват в часовете по математика, колкото и накратко, и непълно, и опростено да се въвеждат те.

Дефиниции за вектор, които са верни в своя контекст:
(A) Геометрична дефиниция: Вектор е ориентирана отсечка (сегмент), зададена с краищата си- двойка точки $A$ и $B$, като обозначаваме $\vec{AB}$. Има дължина, посока и ориентация. Два вектора са равни, ако имат еднаква дължина и еднаква посока, независимо от мястото им в пространството.

(Б) Алгебрична дефиниция (елемент на векторно пространство): Вектор е елемент на множество, наречено векторно пространство, в което са дефинирани операции събиране и умножение със скалар, удовлетворяващи конкретни аксиоми (асоциативност, комутативност, разпределителност и т.н.).
Пример: векторите в $\mathbb{R}^{n}$ са $n$-торки числа.

(В)Аналитична дефиниция (като подредена $n$-торка): Вектор в $\mathbb{R}^{n}$ може да се дефинира като подреден списък от числа $(a_{1},a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n})$, където всяко число е координата по съответното направление. Тук векторът е по същество колонна или редова матрица, над която се извършват стандартните операции.

Никое от тези определения не е пълно или всеобхватно, но в контекста в който се използват са достатъчни.

1) Що се отнася до дефиницията на функция, аз мисля че няма проблем функцията да се зададе и така $f(x)= x^{2} +3x -1, \quad x\in\mathbb{R}$ или така $y= x^{2} +3x -1, \quad x\in\mathbb{R}$. Очевидно е, че ако $x$ е реално число, то такова е и $f(x)$.

Това е моята позиция по поставените въпроси. Може би истински преподаватели ще дадат по-смислена защита на образователната система отколкото аз мога да дам. С всичките си недостатъци, нашата образователна система все още е добра, само дето по мои наблюдения учениците имат все по-малко мотивация да учат и да полагат усилия да знаят.

[nikola.topalov]

Ще се опитам да уточня по-точно къде е моето несъгласие, защото подозирам, че част от него остава не напълно разчетено. Не твърдя, че училищната математика трябва да бъде аксиоматична или че учениците в [tex]8[/tex]. клас трябва да работят с формални конструкции от университетската математика. Съгласен съм, че образователната система работи по принципа „от простото към сложното“ и че много понятия първоначално се въвеждат чрез модели, които по-късно се уточняват, разширяват или коригират.

Моето възражение е по-тясно и по-концептуално. Проблемът, според мен, възниква в момента, в който моделът започне да се нарича дефиниция, без да се уточнява, че е модел, частен случай или работно представяне. Това вече не е просто педагогическо опростяване, а логическо смесване на нива.
Например, твърдението „векторът е насочена отсечка“ не е просто опростена дефиниция, а смяна на обекта. Насочената отсечка е представител, а не самият абстрактен обект. Това може да се формулира коректно и без формализъм, дори на училищно ниво, като се каже, че ще работим с насочени отсечки като представители на вектори. Подобна формулировка не усложнява материала, но запазва концептуалната яснота.

Същото важи и за функциите. Записът [tex]f(x)=x^2+3x-1[/tex] сам по себе си не е проблем и естествено се използва. Проблемът е когато той се представя като „дефиниция на функция“, защото така се създава впечатление, че функция и формула са едно и също. Това не е просто съкращение, а концептуално отъждествяване, което по-късно се оказва трудно за преодоляване.

Относно медицентъра, съгласен съм, че за три точки, нележащи на една права, центърът на тежестта съвпада с пресечната точка на медианите. Именно това обаче илюстрира моята теза: „пресечната точка на медианите“ е свойство или характеристика в конкретен контекст, а не дефиниция в по-общ смисъл. В училище тя работи като дефиниция, но това е локално валидно и затваря вратата към по-широкото разбиране на понятието. Дефиницията, която дадох за медицентър, си е точната дефиниция за медицентър на система от точки.

С други думи, моят спор не е срещу това какво се преподава, а срещу това как се назовава. Ако се казва ясно „за целите на този курс ще разглеждаме…“ или „в този контекст ще наричаме…“, проблемът изчезва. Това не изисква повече формализъм, а само по-голяма терминологична… как да го кажа… честност.

Съгласен съм и с наблюдението Ви за спадащата мотивация на учениците. Именно затова смятам, че е важно още рано да не ги приучаваме, че математиката е набор от удобни, но неточни твърдения, които по-късно просто „се оправят“. Това създава усещането, че математиката е произволна, а не последователна. Моята позиция не е призив за по-тежка теория в училище, а за по-ясно разграничаване между обект, модел и представител. Според мен това е напълно постижимо дори на училищно ниво и би било крачка в правилната посока.

[grav]

За 1 и 2 моите спомени от училище са, че учителят много ясно изрази същото мнение като твоето. Не си спомням какво пишеше в учебника, но щом настояваше да разбираме разликата между вектор е насочена отсечка е функция и формула представяща функцията, предполагам, че не е било добре написано.

[S.B.]

Аз мисля,че трябва да се потърси мнението на колегите специалисти по методика на математиката,педагогика и психология,тъй като тяхното мнение е решаващо при оформянето на учебниците.Аз като математик също имам своите забележки към учебния материал , но нека да не забравяме,че учебниците са адресирани към децата,а не към нас.

[tryagainD]

Макар и като ученик, който е много далеч от нивото, на което са повечето участници в дискусията, както по математика, така и по общ поглед върху материала и неговото преподаване, не мога да се сдържа да задам няколко въпроса на @nikola.topalov за разсъждение .

Ако се поставите на мястото на осмокласник, който няма да се занимава в бъдеще с математика, каква е ползата за Вас да учите точни определения или да Ви запознават специално, че всъщност дефиницията за вектор в гимназията е частен случай на нещо, което се изучава задълбочено, във висшето? Че даже, дори ако от рано смятате да се занимавате с математика, защо да Ви "пълнят главата" със сложни работи, които така или иначе ще се разглеждат достатъчно обстойно, когато им дойде времето във висшето?

Честно казано съм се сблъсквал и с двата варианта (сложни академично съобразени дефиниции и умишлено опростяване и избягване от общия случай) в различните училищни предмети, всеки със своите предимства и недостатъци, но лично предпочитам материалът да се представя простичко дори и да има известни противоречия с академичните определения, за да е възможно все пак нещо да остава в главата на учениците, вместо да има само объркване и неразбирателства в техния начин на възприемане.