Неравенство на Йенсен

[Гост]

Някой може ли да каже, колко форми има тва прочуто неравенство на йенсен и как се използва да посочи един нормален пример с него и изобщо какъв е смисълът от него, защото вече ми се вижда напълно безсмислено ? Например как се изпозва да докажа, че синА +синБ +СинВ е по-малко или равно на 3корен от3 върху 2

[Гост]

това не е ли форум за хора, които наистина разбират математика, ако е така защо никой не отговаря на поставения въпрос за неравенството на йенсен ?

[ganka simeonova]

Привет:) Доста си нетърпелив, все пак е лято и хората го дават по-лежерно и отпускарски:)
Нямам идея, кой клас си, но все пак ще ти предложа решение. Първо да напишем неравенството на Йенсен за вдлъбната функция.
Нека [tex]f(x)[/tex] е ф-я, дефинирана в интервал [tex]\Delta[/tex]и за всеки две [tex]x_1; x_2\in \Delta ; \alpha_1; \alpha_2>0; \alpha_1+\alpha _2=1[/tex] е в сила
[tex]f(\alpha _1x_1+\alpha_2x_2)\ge \alpha _1f(x_1)+\alpha _2f(x_2)[/tex], казваме, че ф-та е вдлъбната. Тогава е в сила неравенството на Йенсен:
Ако [tex]x_1; x_2; ...; x_n\in \Delta ; \alpha _1; ...; \alpha _n\in (0; 1) ; \alpha _1+...\alpha _n=1=>[/tex]
[tex]f(\alpha _1x_1+...+\alpha_2x_n)\ge \alpha _1f(x_1)+...+\alpha _2f(x_n)[/tex].

Ако ф-та е изпъкнала е в сила обратното неравенство.
Обикновено за вдлъбнатост или изпъкналост се използва критерият с втората производна на една ф-я.

Сега по твоята задача:
1) Ще док., че [tex]f(x)=sinx; x\in (0; \pi )[/tex] e вдлъбната.
[tex]f'(x)=cosx; f"(x)=-sinx<0; x\in (0; \pi ).[/tex]
Сега вече ще приложим нер. на Йенсен, като аз ще избера числата [tex]\alpha _i=\frac{1}{3 }; i=1,2,3.[/tex]=>
[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin(\frac{1}{3 }\alpha +\frac{1}{3 }\beta +\frac{1}{3 }\gamma[/tex]
=>[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin {\frac{\pi }{3 }}=\frac{\sqrt{3} }{2 } =>sin\alpha +sin\beta +sin\gamma\le \frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Равенство се достига, когато триъгълникът е равностранен.
Сега, ако искаш да се поуправниш, на базата на неравенството, което ти доказах, реши следните три задачи:
Да се док., че:
1) от всички триъгълници, вписани в дадена окръжност, най-голям периметър имат равностранните.
2)от всички триъгълници, описани около дадена окръжност, най-малък периметър имат равностранните.
3)За всеки триъгълник е в сила: [tex]6\sqrt{3}r\le a+b+c\le 3\sqrt{3}R[/tex]

[inveidar]

А защо не използваш равносилното определение за вдлъбнатост на функция, т.е за всеки две [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] от интервала да е изпълнено неравенството [tex]\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2 } \le f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2 })[/tex]? Без производни за конкретния случай се доказва, че синусът е вдлъбната функция от 0 до 180 градуса.

[Гост]

Благодаря ще пробвам със задачите, които написа за да видя дали ще се се справя Разбрах написаното от вас.

[ganka simeonova]

А защо не използваш равносилното определение за вдлъбнатост на функция, т.е за всеки две [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] от интервала да е изпълнено неравенството [tex]\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2 } \le f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2 })[/tex]? Без производни за конкретния случай се доказва, че синусът е вдлъбната функция от 0 до 180 градуса.

Аз съм го написала в началото, но написах и това с втората производна.

[ganka simeonova]

А защо не използваш равносилното определение за вдлъбнатост на функция, т.е за всеки две [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] от интервала да е изпълнено неравенството [tex]\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2 } \le f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2 })[/tex]? Без производни за конкретния случай се доказва, че синусът е вдлъбната функция от 0 до 180 градуса.

Аз съм го написала в началото, но написах и това с втората производна. Няма лошо, нали? Въпрос и на вкус.

[Гост]

Как синусът стана pi върху 3

[ganka simeonova]

Как синусът стана pi върху 3

Не синусът, а ъгълът...
Това е неравенство за ъглите в триъгълник, т.е.
[tex]\alpha +\beta +\gamma =\pi[/tex]

[Гост]

Да съвсем го забравих това неравенство. Благодаря за обясненията още веднъж

[Гост]

така де равенство имам предвид .

[Гост]

нещо не успях да разбера как да приложа неравенството на йенсен за тази последната задачка от тези за упражнение, които написа госпожа Ганка Симеонова. [tex]6\sqrt{3}r\lea+b+c\le3\sqrt{3}R[/tex]. Обърках се

[ganka simeonova]

Защо не приложиш като за начало синусова теорема?

И още нещо, нещо, което не ми харесва.
Хора,когато пишете в даден форум и изказвате съвет или мнение, не се пишете като ГОСТ.
Най- малкото тук пишете, в кой клас сте, до колко се простират познанията ви..

[Гост]

[tex]6\sqrt{3}r \le a +b+c \le 3\sqrt{3}R[/tex] Нещо не можах да напиша неравенството правилно.

[Гост]

Трябва да си направя регистрация и няма да бъда гост вече. Извинявам се. Пробвам се да решавам задачи за олимпиади.

[ganka simeonova]

Направи си регистрация. Понякога в една тема пишат по няколко "госта"!
Нямам идея на кого отговарям!
Това, с "гостите" е супер тъпо!

[nikoll]

Какво правя след като приложа синусова теорема за да докажа неравенството? Обърках се нещо.

[ganka simeonova]

Какво правя след като приложа синусова теорема за да докажа неравенството? Обърках се нещо.

Ти ли си писал всички постове по темата?
Ако е така и си решила 1 и 2 зад, направи компилация!
Затова не харесвам тези "гости"! Все едно всеки час да почван темата отначало!

[nikoll]

Реших я, но използвах равенството a+b+c=2p, което е доказано и неравенството за p и като заместих се получи точно това, от задачката