sin(sina)+sin(sinb)+sin(siny) по-голямо от 3/4-ти

[nikoll]

Някой може ли да напише и обясни разбираемо доказателството на sin(sina)+sin(sinb)+sin(siny) по-голямо от 3/4-ти

[ganka simeonova]

За ъгли в триъгълник ли иде реч?

[nikoll]

да

[nikoll]

Някой не го ли измисли

[Гост1]

Не е вярно. Поне ако става въпрос за произволен триъгълник. Просто вземи [tex]\alpha=\beta=\frac{\pi}{10^6}[/tex].

[ganka simeonova]

И аз достигнах до този извод. По-скоро може да е вярно обратното неравенство.

[Гост1]

Всъщност [tex]\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}[/tex] ни дава стойност [tex]3\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx2,285[/tex]. От неравенството на Йенсен и това, че [tex]sin(x)[/tex] е растяща в [tex]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/tex] следва, че тази стойност е и най-голямата на израза.
Също така, ако [tex]\alpha=\beta\to 0[/tex], то израза клони към нула.

[nikoll]

Можеш ли да напишеш, как точно прилагаш неравенството на Йенсен в случая ?

[Гост1]

Първо забелязваме [tex]\sin x\in \left(0,\pi\right)[/tex]. [tex]\left(sin x\right)''=-\sin x<0[/tex] в интервала [tex]\left(0,\pi\right)[/tex]. Тогава от неравенството на Йенсен приложено за функцията [tex]\sin[/tex] с аргумент [tex]\sin x[/tex], който е в интервала [tex]\left(0,\pi\right)[/tex] (и точно затова функцията е вдлъбната) имаме [tex]\sin\left(\sin \alpha\right)+\sin\left(\sin \beta\right)+\sin\left(\sin \gamma\right)\le 3\sin\left(\frac{\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma}{3}\right)[/tex]. Отново от Йенсен имаме [tex]\frac{\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma}{3}\le \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Понеже [tex]\sin[/tex] е растяща в [tex]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/tex] (респективно в [tex]\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex]), то [tex]3\sin\left(\frac{\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma}{3}\right)\le 3\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex].

[nikoll]

Благодаря

[nikoll]

Много добро решение показа Гост 1, с неравенството на Йенсен. Точно това исках да разбера при тази задача как се прилага неравенството на Йенсен. Евала на човека.