Неравенства в триъгълник

[nikoll]

Нуждая се от задачи за доказване на неравенства за триъгълник, като се използват свойствата на изпъкналите функции и неравенството на Йенсен. Например подобни на следната задач: Да се докаже ab+bc+ca [tex]\ge[/tex] 4S[tex]\sqrt{3}[/tex]

[ganka simeonova]

Нуждая се от задачи за доказване на неравенства за триъгълник, като се използват свойствата на изпъкналите функции и неравенството на Йенсен. Например подобни на следната задач: Да се докаже ab+bc+ca [tex]\ge[/tex] 4S[tex]\sqrt{3}[/tex]

Имаш грешка. За всеки триъгълник е в сила:
1)[tex]a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3} S[/tex](*)
2)[tex]ab+bc+ca\ge 2\sqrt{3} S[/tex]
Да докажем 1)Повдигаме в квадрат двете страни на търсеното неравенство и имайки предвид, че
[tex]16S^2=2(a^b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4[/tex] получаваме след опростяване:
[tex]a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\ge 0[/tex]
Умножаваме двете страни по 2, групираме и получаваме
[tex](a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2\ge 0[/tex], което очевидно е вярно. Равенство за [tex]a=b=c[/tex]
2)Ще докажем, че за всеки триъгълник е в сила:
[tex]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/tex]
От неравенствата в триъгълника=>
[tex]a>|b-c|; b>|c-a|; c>|a-b|[/tex]
Повдигаме на квадрат, събираме почленно и получаваме: [tex]a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)[/tex](**)
Остава да комбинираш (*) и (**) и ще получиш[tex]ab+bc+ca\ge 2\sqrt{3} S[/tex]

[ganka simeonova]

Никол, ако се интересуваш от неравенства, в стария форум, който в момента е само архив има страхотна тема:
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748

[nikoll]

Благодаря, има много добри задачи в тази тема от линка.

[Гост1]

Нуждая се от задачи за доказване на неравенства за триъгълник, като се използват свойствата на изпъкналите функции и неравенството на Йенсен. Например подобни на следната задач: Да се докаже ab+bc+ca [tex]\ge[/tex] 4S[tex]\sqrt{3}[/tex]

Имаш грешка. За всеки триъгълник е в сила:
1)[tex]a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3} S[/tex](*)
2)[tex]ab+bc+ca\ge 2\sqrt{3} S[/tex]

Неравенствата, който цитирате са верни, но неравнеството, което цитира nikoll, също е вярно (и по-силно от тези двете). Всъщност то е следствие от Finsler-Hadwiger.
Ако искаме да докажем горното неравенство с Йенсен, в началото може да се зачудим какво да правим. Неравенството на Йенсен е доста удобно когато имаме сбор на изрази (членове, функции), във всеки от които участва само една променлива. Така от другата страна на неравенствово ще получим функция от сбора на променливите (или константа, ако този сбор е константа). Случаят на пръв поглед определено не е такъв. Нито [tex]S[/tex] отдясно, нито [tex]ab,bc,ca[/tex] отляво ни се връзват. Но ако пробваме да ги комбинираме всичко си идва на мястото. Наистина нека раделим неравенството на [tex]2S[/tex]. Тогава получаваме [tex]\frac{ab}{2S}+\frac{bc}{2S}+\frac{ca}{2S}\ge2\sqrt{3}[/tex]. От формулата [tex]\frac{ab\sin(\gamma)}{2}=S[/tex] получаваме [tex]\frac{ab}{2S}=\frac{1}{\sin(\gamma)}[/tex]. Така бихме искали да докажем [tex]\frac{1}{\sin(\gamma)}+\frac{1}{\sin(\alpha)}+\frac{1}{\sin(\beta)}\ge 2\sqrt{3}[/tex]. Това вече е доста по-удобно за Йенсен. Може да се докаже, че [tex]\frac{1}{\sin(x)}[/tex] е изпъкнала (в съответния интервал) и така [tex]\frac{1}{\sin(\gamma)}+\frac{1}{\sin(\alpha)}+\frac{1}{\sin(\beta)}\ge 3\frac{1}{\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)}=\frac{3}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}=2\sqrt{3}[/tex]
Може да се реши и като се използва [tex]\frac{\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma}{3}\le \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] и [tex]\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9[/tex].

[inveidar]

Имаш грешка. За всеки триъгълник е в сила:
1)[tex]a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3} S[/tex](*)
2)[tex]ab+bc+ca\ge 2\sqrt{3} S[/tex]

При второто неравенство равенството не се достига, т.е неравенството трябва да е строго!!!

[ganka simeonova]

Съгласна съм с теб, защото н-та за триъгълник са строги.