Олимпиада Math10

[WEBER]

Задача 1. Да се реши интегралът

[tex]I=\int_{}^{ } \frac{dx}{x\sqrt{(4x-x^2)^2}}[/tex]


Задача 2. Да се реши интегралът

[tex]I=\int_{}^{ } \frac{xe^x}{\sqrt{1+e^x}} dx[/tex]

[Flame]

Задача 2. Да се реши интегралът

[tex]I=\int \frac{xe^x}{\sqrt{1+e^x}} dx=2.\int x d{\sqrt{1+e^x}}=2. x\sqrt{1+e^x}-2\int\sqrt{1+e^x}dx= 2.x\sqrt{1+e^x}-2\int\sqrt{1+e^x}.\frac{\sqrt{1+e^x}}{ \sqrt{1+e^x}} dx=[/tex]
[tex]=2.x\sqrt{1+e^x}-2\int\frac{1+e^x}{ \sqrt{1+e^x}}dx=2.x\sqrt{1+e^x}-2\int\frac{1}{ \sqrt{1+e^x}}dx-2.\int\frac{e^x}{ \sqrt{1+e^x}}dx=2.x\sqrt{1+e^x}-2\int\frac{1}{ \sqrt{1+e^x}}dx-2.\int\frac{de^x}{ \sqrt{1+e^x}}[/tex]=
[tex]=2.x\sqrt{1+e^x}-2.2.\sqrt{1+e^x}-2\int\frac{1}{ \sqrt{1+e^x}}dx[/tex]
[tex]=2.\sqrt{1+e^x}.(x-2)+2.\ln\|{\frac{\sqrt{1+e^x}+1 }{\sqrt{1+e^x}-1 }\|+C[/tex]
[tex]=2.\sqrt{1+e^x}.(x-2)+2.2.arctgh{\sqrt{1+e^x} }+C[/tex]
[tex]=2.\sqrt{1+e^x}.(x-2)+4.arctgh{\sqrt{1+e^x} }+C[/tex]

Тази се оказва, че не е нищо особено...
Да не говорим пък за първата (там трябва да се внимава с модула)...

[WEBER]

Аз мисля, че няма нужда от модула. Както и да е. Кажи колко получаваш на първата.

[Flame]

Задача 1. Да се реши интегралът
[tex]I=\int \frac{dx}{x\sqrt{(4x-x^2)^2}}=\int \frac{dx}{x\|(4x-x^2)\|}=\int \frac{dx}{x\|x.(4-x)\|}=[/tex]

Случай [tex]I , x\in (0,4) \Rightarrow[/tex]
[tex]I_1=\int \frac{dx}{x^2.(4-x)}=\int( \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2 }+\frac{C}{4-x})dx =\int( \frac{1}{16.x}+\frac{1}{4.x^2 }+\frac{1}{16.(4-x)})dx=\frac{1}{16} \int \frac{1}{x}dx+\frac{1}{4}.\int \frac{1}{x^2 }dx-\frac{1}{16}.\int\frac{1}{4-x}d(4-x)=[/tex]
[tex]I_1=\frac{1}{16}.ln|x|-\frac{1}{4}.\frac{1}{x} -\frac{1}{16}.ln|4-x|+C[/tex]

Случай [tex]II, x\notin [0,4] \Rightarrow[/tex]
[tex]I_2=-\int \frac{dx}{x^2.(4-x)} \Rightarrow I_2=-I_1 \Rightarrow I_2=-\frac{1}{16}.ln|x|+\frac{1}{4}.\frac{1}{x} +\frac{1}{16}.ln|4-x|+C[/tex]