Погрешни твърдения

[martin.nikolov]

Идеята е от един друг форум. Става дума за математически твърдения които са грешни но разспространени(сред не чак толкова добрите ученици) като [tex](u+v)^2=u^2+v^2[/tex] или твърдения които са грешни но интуитивно изглеждат верни и е лесно човек да се заблуди. Ето още едно, всяка квадратна матрица е диагонализируема над комплексните числа. Ето още едно което идва на ум. Ако U и V са крайно мерни векторни пространства тогава [tex]dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U\cap V)[/tex]. Това е вярно, но по аналогия с крайни мновества и принцип за включването и изключването, човек може да очаква че и [tex]dim(U+V+W)=dim(U)+dim(V)+dim(W)-dim(U\cap V)-dim(U\cap W)-dim(V\cap W)+[/tex]
[tex]+dim(U\cap V \cap W)[/tex] е вярно. Но не е.

[Kamito]

В стария форум в една тема беше написано(формули за съкратено умножение): [tex]x.x=x^{2}=2x[/tex]

[martin.nikolov]

В стария форум в една тема беше написано(формули за съкратено умножение): [tex]x.x=x^{2}=2x[/tex]

Това сигурно е печатна грешка. Аз имах предвид неща в които може да се заблудят много хора, и да им се струват верни ако не се замислят, и понякога дори и след като се замислят.

Още един пример, за който се сетих. Когато човек учи за отворени и затворени множества, в началото е много лесно и често срещано да си помисли, че ако едно множество не е отворено то е затворено. И обратното, ако не е затворено то е отворено. Което разбира се не е вярно, и идва от ежедневната употреба на думите. И тогава лесно се правят грешки при решаването на накои задачи.

[Kamito]

Ами не знам дали е печатна грешка, Ето и линк: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=12280 А иначе разбрах какво имаш предвид.

[Станислав]

Множеството на целите числа е с повече елементи (или има по-голяма мощност) от множеството на естествените, но всъщност те са с еднаква мощност, защото съществува биекция [tex]f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}[/tex] между тях:
[tex]f(n)=\left{
\begin{array}{ll}
2n, & n<0 \\
2n+1 & n \geq 0
\end{array}
\right.[/tex] Всъщност точно с безкрайните множества се получават най-интересните заблуди

[Apocalyp5e]

[tex](u+v)^2=u^2+v^2[/tex]

Това не винаги е грешно Ако F e поле с характеристика [tex]m \ne 0[/tex], то е вярно, че [tex](u+v)^m=u^m+v^m,\ \ (u,v\in F).[/tex]

[Baronov]

Много от интуитивните твърдения за крайно-мерни пространства престават да бъдат верни в безкрайно-мерния случай.
1) Единичната сфера е слабо-затворена. Т.е. ако [tex]||x_n|| = 1[/tex] и [tex]Ax_n[/tex] клони към Ax за всеки непрекъснат линеен функционал А, то ||x|| = 1. Това съм си мислил, че е вярно, но НЕ е.

2) Всяко ограничено и затворено множество е компактно. Това не с нуждае от коментар, според мен.

[Baronov]

Всяка подалгебра на крайно-породена алгебра е крайно-породена (НЕВЯРНО).
Пример : А = R[x, y] - полиномите на 2 променливи с реални коефициенти. М = алгебрата породена от [tex]xy^n[/tex]. Тогава А е крайно-породена, но М не е.

[martin.nikolov]

Задачата от другата тема ми напомни за следното. Когато се учат подгрупи, нормални подгрупи и фактор групи. Например [tex]G[/tex] е група, [tex]N[/tex] нормална подгрупа и [tex]H=G/N[/tex] фактора. Често се среща заблуждението, че [tex]G[/tex] е изоморфна на директното произведение на [tex]N[/tex] и [tex]H[/tex]. Предполагам по аналогия с векторни пространства. Не толкова често, но също срещано е, човек като напредне да си мисли, че в горната ситуация твърдението е вярно ако 'директно произведение' се замени с 'полудиректно произведение', което също не е вярно.

А, още едно. Ако две крайни групи са изоморфни, очевидно ще имат еднакви таблици от характери. На пръв поглед изглежда че и обратното трябва да е вярно, но не е. Различни групи могат да имат еднакви таблици.

[Baronov]

Задачата от другата тема ми напомни за следното. Когато се учат подгрупи, нормални подгрупи и фактор групи. Например [tex]G[/tex] е група, [tex]N[/tex] нормална подгрупа и [tex]H=G/N[/tex] фактора. Често се среща заблуждението, че [tex]G[/tex] е изоморфна на директното произведение на [tex]N[/tex] и [tex]H[/tex]. Предполагам по аналогия с векторни пространства. Не толкова често, но също срещано е, човек като напредне да си мисли, че в горната ситуация твърдението е вярно ако 'директно произведение' се замени с 'полудиректно произведение', което също не е вярно.

Това и аз си го мислех известно време

А, още едно. Ако две крайни групи са изоморфни, очевидно ще имат еднакви таблици от характери. На пръв поглед изглежда че и обратното трябва да е вярно, но не е. Различни групи могат да имат еднакви таблици.

Това не изглежда толкова интуитивно и никога не съм си го мислил. Обаче не мога да измисля пример за различни групи с еднакви таблици на характерите, ако дадеш пример ще е супер (все пак човек, който чете тази тема да може да научи нещо, което е вярно, а не само неща, които не са).

[martin.nikolov]

Задачата от другата тема ми напомни за следното. Когато се учат подгрупи, нормални подгрупи и фактор групи. Например [tex]G[/tex] е група, [tex]N[/tex] нормална подгрупа и [tex]H=G/N[/tex] фактора. Често се среща заблуждението, че [tex]G[/tex] е изоморфна на директното произведение на [tex]N[/tex] и [tex]H[/tex]. Предполагам по аналогия с векторни пространства. Не толкова често, но също срещано е, човек като напредне да си мисли, че в горната ситуация твърдението е вярно ако 'директно произведение' се замени с 'полудиректно произведение', което също не е вярно.

Това и аз си го мислех известно време

А, още едно. Ако две крайни групи са изоморфни, очевидно ще имат еднакви таблици от характери. На пръв поглед изглежда че и обратното трябва да е вярно, но не е. Различни групи могат да имат еднакви таблици.

Това не изглежда толкова интуитивно и никога не съм си го мислил. Обаче не мога да измисля пример за различни групи с еднакви таблици на характерите, ако дадеш пример ще е супер (все пак човек, който чете тази тема да може да научи нещо, което е вярно, а не само неща, които не са).

Това първото сигурно всеки си го мисли, но знае ли човек, има и много съобразителни хора и на тях може да им е пределно ясно от самото начало.

За второто, мисля но е хубаво да се провери, че диедралната група от ред 8(т.е. с осем елементи) и групата от единичните кватерниони имат еднакви таблици. Но са неизоморфни в първата има елемент от ред 4, във втората всичко е от ред 2.

[drago]

Темата е стара, но ми се стори интересна.
Акцента първоначално от "погрешно" се е изместил на "парадоксално".
Според мен, за никое от изброените твърдения не мога да кажа, че е парадоксално. Примерно: това за слабата сходимост- първо, за да го разбере човек трябва поне някакви начални познания по функционален анализ, а пък ако ги има той вече е обръгнал на подобни неща и знае, че като се махнат някои изисквания от определени структури, примерно пространството да е крайномерно, не може да се очаква, че всички хубави свойства ще се запазят.
Както и да е...
Едно нещо би било парадоксално, ако:
- Може да го разбере и човек без някакви специални познания
- Нарушава дълбоко мирогледа му.
Например:

Единичното кълбо може да се разреже на 6 парчета, така че от трите само с преместване и ротация да получим пак единично кълбо. От останалите 3 също. В резултат: о фокус... от 1 кълбо стават 2 със същия размер.
Нарича се парадокс на Банах-Тарски. Когато ми стана известен преди време, бях много впечатлен и не можех да повярвам, че е възможно.

[mkmarinov]

Още едно, на пръв поглед вярно твърдение, което е заблудило много хора: във всяка игра съществува оптимална стратегия за участниците. И тя може да бъде описана математически.
Ето един пример, играта с двата престъпника. Полицията хваща двама престъпници (нека ги наричаме А и В, за улеснение). Всеки от тях има избор - да мълчи, или да издаде другият. Ако А издаде В, а В мълчи: А го пускат, В получава 10 години. Ако А издаде В и В издаде А, и двамата получават по 5 години. Ако и двамата мълчат, и двамата получават по 6 месеца. Лесно се вижда, че за всеки е оптимално да издаде другият, независимо от решението му. Но тогава резултатът не е оптимален за нито един от двамата.

[drago]

Това може да е донякъде любопитно, но до там.
Както казват "няма пълно щастие". Така и с тази игра...
Не може да ми събори представите.
Относно парадокса за кълбото. Може би някой си мисли, че има уловка или това е някакъв софизъм... Няма такова нещо. Кълбото се разбива на 6 непресичащи се множества, три от тях с преместване и въртене дават същото кълбо. Останалите също.
От цялата тази дълга тема няма друго нещо така потресаващо!

[martin.nikolov]

Да, потресаващо е, но това е защото ни е такава интиуцията. Като си мислим за парче си мислим занещо което има обем (мярка). Както беше казал някой "Нетренираната интуиция обикновено греши, а когато е права е по грешна причина".

Ето една шега.

An anagram of Banach-Tarski is Banach-Tarski Banach-Tarski.